Question

[Nguyễn Tâm]

Tìm số tự nhiên n , biết :

n² + n + 1 = 2025²⁰²⁴

Answer 1

[Lê Minh Vũ]

\(n^2+n+1=2025^{2024}\)

Ta sẽ ước lượng giá trị của n 

=> \(n^2+n+1\sim2025^{2024}\)

Bỏ qua các hệ số nhỏ hơn, ta có:

\(n^2\sim2025^{2024}\)

=> \(n\sim\sqrt{2025^{2024}}=2025^{2012}\)

Vậy giá trị gần đúng của n là: \(n\sim2025^{1012}\)

Answer 2

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

 Đây là dạng toán nâng cao giải phương trình nghiệm nguyên, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng nguyên lý kẹp như sau: 

    Tìm n \(\in\) N  để  n² + n + 1 = 2025²⁰²⁴

Giải: Nếu n = 0 ta có: 0² + 0  + 1 = 2025²⁰²⁴ vô lý (n = 0 loại) 

Nếu  n > 0 ta có:  Vì n là số tự nhiên nên lớn hơn 0 nên:

 0 < n + 1 ⇒ n² <  n² + n + 1 (1)  

Và n² + n + 1 < n²+ 2n + 1 

n² + 2n + 1 = n(n + 1) + (n  +1) = (n + 1)(n+1) = (n + 1)² 

⇒ n² + n  +1 < (n + 1)²  (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: 

n² < n² + n + 1 < (n  +1)²

Vậy n² + n + 1 không phải là số chính phương.Do không thể tồn tại một số chính phương giữa hai số chính phương liên tiếp. 

Mà 2025²⁰²⁴ = (2025¹⁰¹²)² (là một số chính phương)

Vậy n >  0 Thì n² + n  + 1 ≠ 2025²⁰²⁴

Từ những lập luận và phân tích trên ta thấy không có giá trị nào của n thỏa mãn đề bài.

Kết luận: n \(\in\) \(\varnothing\)