Question

[Lê Thành An]

tìm số nguyên dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{a-b\sqrt{2}}{b-c\sqrt{2}}\) là số hữu tỉ và  \(a^2+b^2+c^2\) là số nguyên tố

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

là số hữu tỉ nên sẽ sẽ có dạng \(\frac{a-b\sqrt{2}}{b-c\sqrt{2}}=\frac{m}{n}< =>an-bn\sqrt{2}=bm-cm\sqrt{2}< =>\)

an-bm=\(\sqrt{2}\)(bn-cm)

an-bm là số nguyên; nên \(\sqrt{2}\left(bn-cm\right)\)là số nguyên => bn-cm=0 => an-bm=0

ta có bn=cm; bm=an => b²mn = cman <=> b² =ac

\(a^2+b^2+c^2=a^2+c^2+2ac+b^2=\left(a+c\right)^2-2b^2+b^2=\)\(\left(a+c\right)^2-b^2=\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)\)(1)

dễ thấy a+c-b>a+c+b nên để (1) là số nguyên tố thì a+c-b=1 => a²+b²+c² =a+b+c

<=> a(a-1)+b(b-1)+c(c-1) = 0 => a=b=c=1

thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện đề bài => a=b=c=1

Answer 2

[Vũ Tiến Manh]

Sửa lại một chút: a²+b²+c² =a²+c²+2ac -2ac+b² =(a+c)²-2ac+b²