Question

[camcon]

Tìm số giá trị của m để hàm số \(y=\sqrt{4\left(sin^6x+cos^6x\right)-6m.sin2x+2-m^2}\) xác định trên \(\left(\dfrac{-5\pi}{12};\dfrac{\pi}{12}\right)\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Ủa sao xài hoành độ đỉnh ở đây được nhỉ, phải xài nghiệm (đúng hơn là lợi dụng quy tắc dấu tam thức bậc 2 "trong khác - ngoài cùng")

Đây, ví dụ 1 trường hợp cho em (bài này ở trên đã đưa dấu a>0 theo thói quen). 2 đường màu đỏ là khoảng \(\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\), rõ ràng đỉnh parabol nằm trong khoảng đó nhưng trên khoảng \(\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\) hàm vẫn có 1 đoạn nhận giá trị dương (tương ứng với đoạn BC)

Cách làm đúng ở đây là cần sử dụng quy tắc tam thức bậc 2  (hoặc 1 số pp khác nhưng ko thể là hoành độ đỉnh). Lợi dụng quy tắc tam thức bậc 2: nếu pt bậc 2 có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thì \(a.f\left(x\right)< 0\) với \(x\in\left(x_1;x_2\right)\) và \(a.f\left(x\right)>0\) với \(x\notin\left(x_1;x_2\right)\).

Do đó để  \(f\left(x\right)< 0\) ; \(\forall x\in\left(p;q\right)\) nào đó (khi a dương), đồng nghĩa khi đó p và q phải nằm giữa 2 nghiệm, hay \(f\left(p\right)\) và \(f\left(q\right)\) đều âm.

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Hàm xác định trên khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(4\left(sin^6x+cos^6x\right)-6m.sin2x+2-m^2\ge0;\forall x\in\left(...\right)\)

\(\Leftrightarrow4\left[\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\right]-6m.sin2x+2-m^2\ge0;\forall x\in...\)

\(\Leftrightarrow-3sin^22x-6m.sin2x-m^2+6\ge0\)

Đặt \(sin2x=t\Rightarrow t\in[-1;\dfrac{1}{2})\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)=3t^2+6mt+m^2-6\le0\)

Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2 thì điều này xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)\le0\\f\left(\dfrac{1}{2}\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-6m-3\le0\\m^2+3m-\dfrac{21}{4}< 0\end{matrix}\right.\)

Ủa biến đổi có sai ở đâu ko mà BPT cuối nhìn nghiệm xấu vậy