Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(A=a^{2024}-a^{2020}=a^{2020}\left(a^4-1\right)\)
- Chứng minh A chia hết cho 2:
+) Nếu a lẻ thì \(a-1\)chẵn nên A chia hết cho 2
+) Nếu a chẵn thì \(a^{2020}\)chẵn nên A chia hết cho 2
- Chứng minh A chia hết cho 3:
+) Nếu a chia hết cho 3 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
+) Nếu a không chia hết cho 3 thì \(a^2\equiv1\)(mod 3) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 3). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
- Chứng minh A chia hết cho 5:
+) Nếu a chia hết cho 5 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 5 nên a chia hết cho 5
+) Nếu a không chia hết cho 5 thì \(a^2\equiv1,4\)(mod 5) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 5). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5
Từ đây ta có A chia hết cho 2, 3, 5 vậy A chia hết cho 30 \(\Rightarrow a^{2024}\equiv a^{2020}\)(mod 30)
\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\equiv a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\equiv7\)(mod 30)
Vậy \(a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\)chia 30 dư 7
* Ta c/m: \(x^5-x⋮30\forall x\in Z\)
+ \(x^5-x=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)
\(=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)
Vì \(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮5\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮30\) ( do 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau ) (1)
+ \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮2\\\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮6\) ( do \(\left(2,3\right)=1\) )
\(\Rightarrow5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Trở lại bài toán ta có:
\(P-M=a^{2019}\left(a^5-a\right)+b^{2019}\left(b^5-b\right)+c^{2019}\left(c^5-c\right)⋮30\)
( do \(a^5-a⋮30,b^5-b⋮30,c^5-c⋮30\) )
=> P và M có cùng số dư khi chia 30
=> P chia 30 dư 7
\(\dfrac{3^{10}}{83}=\dfrac{\left(3^4\right)^{10}}{83}=\dfrac{81^{10}}{83}=\dfrac{\left(83-2\right)^{10}}{83}=k-\dfrac{2^{10}}{83}\)
=\(k-\dfrac{1024}{83}=k-\dfrac{\left(996+28\right)}{83}=k-12-\dfrac{28}{83}\\ \)
\(K\in Z\): phần dư: 83-28=55
\(\dfrac{A\left(x\right)}{x-2}=\dfrac{20x^3-40x^2+40x^2-80x+69x-138+2152}{x-2}\)
\(=20x^2+40x+69+\dfrac{2152}{x-2}\)
\(\dfrac{B\left(x\right)}{x-3}=\dfrac{20x^3-11x+2010}{x-3}\)
\(=\dfrac{20x^3-60x^2+60x^2-180x+169x-507+2517}{x-3}\)
\(=20x^2+60x+169+\dfrac{2517}{x-3}\)
b/a=2517/2152=1 dư 365
Đặt \(\overline{abc}=11m+k;\overline{xyz}=11n+k\left(k\in N,k< 11\right)\)
Khi đó ta có: \(\overline{abcxyz}=1000.\overline{abc}+\overline{xyz}=1000\left(11m+k\right)+11n+k\)
\(=11000m+11n+1001k\)
Biểu thức trên chia hết cho 11 với mọi m, n, k.
Vậy ....