Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(1+x\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1+x\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}+x}=1\)
\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}+x\)
\(\Rightarrow1+x\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+1}-x=0\)
\(\Rightarrow-\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\sqrt{x^2+1}=0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{x^2+1}-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\sqrt{x^2+1}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)
\(a,2y^2-x+2xy=y+4\\ \Leftrightarrow2y\left(x+y\right)-\left(x+y\right)=4\\ \Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(x+y\right)=4=4\cdot1=\left(-4\right)\left(-1\right)=\left(-2\right)\left(-2\right)=2\cdot2\)
Vì \(x,y\in Z\Leftrightarrow2y-1\) lẻ
\(\left\{{}\begin{matrix}2y-1=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-1=-1\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)
Vậy PT có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left\{\left(3;1\right);\left(4;0\right)\right\}\)
đặt \(x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=4\\\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)\end{cases}+\left(y^2+2+\frac{1}{y^2}\right)=8}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=4\\a^2+b^2=8\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+2ab+b^2=16\\a^2+b^2=8\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow2ab=8\Leftrightarrow ab=4\)
a;b sẽ là nghiệm của phương trình:
X2-4X+4=0
<=>(X-2)2=0
<=>X=2
<=>a=b=2
\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{y}=2\)
Giải phương trình=>x=y=1
Vậy nghiệm của hê phương trình:(x;y)=(1;1)
Mình có cách khác là dùng BĐT để giải
ĐK: x, y khác 0
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) với mọi a, b thực. Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b
\(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
Vậy nghiệm của HPT là (x;y) = (1;1)
Đặt \(x^2=a\ge0\).
PT đã cho trở thành: \(a^2+a+1=y^2\).
Ta có: \(a^2< a^2+a+1\le a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2\).
Mà \(a^2+a+1=y^2\) là số chính phương nên theo nguyên lí kẹp ta có \(a^2+a+1=\left(a+1\right)^2\Leftrightarrow a=0\Rightarrow x=0;y=1\).