Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có 7x2⋮7
1820⋮7
Vậy để phương trình \(7x^2+13y^2=1820\) có nghiệm nguyên thì 13y2⋮7⇔y2⋮7 (vì (13;7)=1) (1)
Ta lại có \(7x^2+13y^2=1820\Leftrightarrow7x^2=1820-13y^2\ge0\Leftrightarrow13y^2\le1820\Leftrightarrow y^2\le140\left(2\right)\)(2)
Ta lại có y2 là số chính phương (3)
Từ (1),(2),(3)\(\Rightarrow y^2=49\Leftrightarrow\)\(y=\pm7\Leftrightarrow x=\pm13\)
Vậy phương trình có 4 nghiệm (x;y)={(7;13);(-7;-13);(-7;13);(7;-13)}
a) Ta có
2x+13y=1562x+13y=156
\(\Leftrightarrow\)13y=156−2x\(\Leftrightarrow\)13y=156−2x
\(\Leftrightarrow\)y=156−2x13<−>y=156−2x13
Để yy nguyên thì 156−2x156−2x phải chia hết cho 13.
Lại có 156−2x=2(78−x)156−2x=2(78−x). Do đó là số chẵn.
Vậy 156−2x∈B(13)={26,52,78,104,130,156}156−2x∈B(13)={26,52,78,104,130,156}
Do đó x∈{65,52,39,26,13,0}
Ta có: \(7\left(x^2+xy+y^2\right)=39\left(x+y\right)\) nên \(x^2+xy+y^2⋮39\) \(x+y⋮7\)
Đặt \(x^2+xy+y^2=39k;x+y=7k\) \(\left(k\in N\right)\) vì \(x^2+xy+y^2\ge0\)
\(\Rightarrow xy=\left(x+y\right)^2-\left(x^2+xy+y^2\right)=49k^2-39k\)
Theo Viet x,y là nghiệm của phương trình \(a^2-49k^2a+49k^2-39k=0\)
Phương trình có 2 nghiệm khi \(\Delta=49k^2-4.49k^2+4.39k=156k-147k^2=k\left(156-147k\right)\ge0\)
Vì k>0 nên \(156>147k\), vì k nguyên nên k=1
Do đó ta có x + y = 7,xy=10 nên áp dụng viet, ta giải được (x,y)=(2;5);(5;2)
Đó là giá trị nguyên cần tìm
Gọi d là ước chung lớn nhất của x, y
\(\Rightarrow\left(x,y\right)=d\)
\(\Rightarrow x,y,z,t⋮d\)
\(\Rightarrow x=dx_1;y=dy_1;z=dz_1;t=dt_1;\)
Với \(x_1;y_1;z_1;t_1\in N;\left(x_1;y_1\right)=1\)
\(\Rightarrow14\left(x_1^2+y^2_1\right)=z_1^2+t_1^2⋮7\)
\(\Rightarrow z_1;t_1⋮7\)
\(\Rightarrow x_1^2+y_1^2⋮7\)
\(\Rightarrow x_1;y_1⋮7\)
Trái giả thuyết nên phương trình vô nghiệm nguyên.
Ta có \(\frac{x+2}{13}+\frac{2x+45}{15}=\frac{3x+8}{37}+\frac{4x+69}{9}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+2}{13}+1\right)+\left(\frac{2x+45}{15}-1\right)=\left(\frac{3x+8}{37}+1\right)+\left(\frac{4x+69}{9}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+15}{13}+\frac{2\left(x+15\right)}{15}=\frac{3\left(x+15\right)}{37}+\frac{4\left(x+15\right)}{9}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+15\right)\left(\frac{1}{13}+\frac{2}{15}-\frac{3}{37}-\frac{4}{9}\right)=0\Leftrightarrow x+15=0\)vì \(\left(\frac{1}{13}+\frac{2}{15}-\frac{3}{37}-\frac{4}{9}\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow x=-15\)
Vậy \(x=-15\)
Ta có:
\(x^3+7y=y^3+7x\)
\(\Leftrightarrow x^3-y^3-7x+7y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=0\\x^2+xy+y^2-7=0\end{cases}}\)
+) \(x-y=0\)\(\Rightarrow x=y=k\left(k\inℕ^∗\right)\)
+) \(x^2+xy+y^2-7=0\)
xét: \(\Delta=y^2-4\left(y^2-7\right)=-3y^2+28\ge0\)
\(\Rightarrow3y^2\le28\Rightarrow y^2\le9\Rightarrow y\in[1;2;3]\)
Xét từng trường hợp
7x² + 13y² = 1820
<=> 7x² = 1820 - 13y² (*)
Ta có 7x² ≥ 0 với mọi x,nên để pt có nghiệm thì: 1820 - 13y² ≥ 0
<=> 13y² ≤ 1820 <=> y² ≤ 140
<=> -√140 ≤ y ≤ √140 hay -11,8 ≤ y ≤ 11,8
Do y ε Z => y = { -11 ; -10 ; -9 ; ... ; 9 ; 10 ; 11}
▪ y = -11, thay vào (*) ta có : x² = 247/7 --> loại
▪ .... --> loại
▪ y = -7 ,thay vào (*) => x² = 169 <=> x = ±13
▪ .... --> loại
▪ y = 7 ,thay vào (*) => x² = 169 <=> x = ±13
▪ .... --> loại
▪ y = 11, thay vào (*) ta có : x² = 247/7 --> loại
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là :
( x ; y ) = ( 13 ; 7 ) ; ( 13 ; -7 ) ; ( -13 ; 7 ) ; ( -13 ; -7 )