Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Đặt \(\sqrt{2x-5}=t\) khi đó \(x=\frac{t^2+5}{2}\) , \(dx=tdt\)
Do vậy \(I_1=\int\frac{\frac{1}{4}\left(t^2+5\right)^2+3}{t^3}dt=\frac{1}{4}\int\frac{\left(t^4+10t^2+37\right)t}{t^3}dt\)
\(=\frac{1}{4}\int\left(t^2+10+\frac{37}{t^2}\right)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{t^3}{3}+10t-\frac{37}{t}\right)+C\)
Trở về biến x, thu được :
\(I_1=\frac{1}{12}\sqrt{\left(2x-5\right)^3}+\frac{5}{2}\sqrt{2x-5}-\frac{37}{4\sqrt{2x-5}}+C\)
b) \(I_2=\frac{1}{3}\int\frac{d\left(\ln\left(3x-1\right)\right)}{\ln\left(3x-1\right)}=\frac{1}{3}\ln\left|\ln\left(3x-1\right)\right|+C\)
c) \(I_3=\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}}dx=\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-5}}\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\)
\(\Rightarrow\) \(I_3=\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-5}}=\ln\left|t+\sqrt{t^2-5}\right|+C\)
\(=\ln\left|x-\frac{1}{x}+\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}\right|+C\)
a) Mẫu số chứa các biểu thức có nghiệm thực và không có nghiệm thực.
\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\left(1\right)\)
Tay x=1 vào 2 tử, ta có : 2=2A, vậy A=1
Do đó (1) trở thành :
\(\frac{1\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(B+1\right)x^2+\left(C-B\right)x+1-C}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\)
Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có hệ :
\(\begin{cases}B+1=1\\C-B=2\\1-C=-1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}B=0\\C=2\\A=1\end{cases}\)\(\Rightarrow\)
\(f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x^2+1}\)
Vậy :
\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\int\frac{1}{x-1}dx+2\int\frac{1}{x^2+1}=\ln\left|x+1\right|+2J+C\left(2\right)\)
* Tính \(J=\int\frac{1}{x^2+1}dx.\)
Đặt \(\begin{cases}x=\tan t\rightarrow dx=\left(1+\tan^2t\right)dt\\1+x^2=1+\tan^2t\end{cases}\)
Cho nên :
\(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{1+\tan^2t}\left(1+\tan^2t\right)dt=\int dt=t;do:x=\tan t\Rightarrow t=arc\tan x\)
Do đó, thay tích phân J vào (2), ta có :
\(\int\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\ln\left|x-1\right|+arc\tan x+C\)
b) Ta phân tích
\(f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}=\frac{A}{\left(x-1\right)^3}+\frac{B}{\left(x-1\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+3}\)\(=\frac{A\left(x+3\right)+B\left(x-1\right)\left(x+3\right)+C\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)+D\left(x-1\right)^3}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}\)
Thay x=1 và x=-3 vào hai tử số, ta được :
\(\begin{cases}x=1\rightarrow2=4A\rightarrow A=\frac{1}{2}\\x=-3\rightarrow10=-64D\rightarrow D=-\frac{5}{32}\end{cases}\)
Thay hai giá trị của A và D vào (*) và đồng nhất hệ số hai tử số, ta cso hệ hai phương trình :
\(\begin{cases}0=C+D\Rightarrow C=-D=\frac{5}{32}\\1=3A-3B+3C-D\Rightarrow B=\frac{3}{8}\end{cases}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\)
Vậy :
\(\int\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}dx=\)\(\left(\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\right)dx\)
\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|x-1\right|-\frac{5}{32}\ln\left|x+3\right|+C\)
\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C\)
a)
\(\int\frac{2\left(x_{ }+1\right)}{x^2+2x_{ }-3}dx=\int\frac{2x+2}{x^2+2x-3}dx\)
\(=\int\frac{d\left(x^2+2x-3\right)}{x^2+2x-3}=ln\left|x^2+2x-3\right|+C\)
b)\(\int\frac{2\left(x-2\right)dx}{x^2-4x+3}=\int\frac{2x-4dx}{x^2-4x+3}=\int\frac{d\left(x^2-4x+3\right)}{x^2-4x+3}=ln\left|x^2-4x+3\right|+C\)
a) Dùng phương pháp hữu tỉ hóa "Nếu \(f\left(x\right)=R\left(e^x\right)\Rightarrow t=e^x\)" ta có \(e^x=t\Rightarrow x=\ln t,dx=\frac{dt}{t}\)
Khi đó \(I_1=\int\frac{t^3}{t+2}.\frac{dt}{t}=\int\frac{t^2}{t+2}dt=\int\left(t-2+\frac{4}{t+2}\right)dt\)
\(=\frac{1}{2}t^2-2t+4\ln\left(t+2\right)+C=\frac{1}{2}e^{2x}-2e^x+4\ln\left(e^x+2\right)+C\)
b) Hàm dưới dấu nguyên hàm
\(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt[3]{x^2}}=R\left(x;x^{\frac{1}{2}},x^{\frac{2}{3}}\right)\)
q=BCNN(2;3)=6
Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa theo :
"Nếu \(f\left(x\right)=R\left(x:\left(ã+b\right);\left(ax+b\right)^{r2},....\right),r_k=\frac{P_k}{q_k}\in Q,k=1,2,...,m\Rightarrow t=\left(ax+b\right)^{\frac{1}{q}}\),q=BCNN \(\left(q_1,q_2,...,q_m\right)\)"
=> \(t=x^{\frac{1}{6}}\Rightarrow x=t^{6,}dx=6t^5dt\)
Khi đó nguyên hàm đã cho trở thành :
\(I_2=\int\frac{t^3}{t^6-t^4}6t^{5dt}=\int\frac{6t^4}{t^2-1}dt=6\int\left(t^2+1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt\)
\(=6\int\left(t^2+1\right)dt+2\int\frac{dt}{\left(t-1\right)\left(t+1\right)}=2t^3+6t+3\int\frac{dt}{t-1}-3\int\frac{dt}{t+1}\)
\(=2t^2+6t+3\ln\left|t-1\right|-3\ln\left|t+1\right|+C=2\sqrt{x}+6\sqrt[6]{x}+3\ln\left|\frac{\sqrt[6]{x-1}}{\sqrt[6]{x+1}}\right|+C\)
c) Hàm dưới dấu nguyên hàm có dạng :
\(f\left(x\right)=R\left(x;\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{2}{3}};\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{5}{6}}\right)\)
q=BCNN (3;6)=6
Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa được
\(t=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{6}}\Rightarrow x=\frac{t^6+1}{t^6-1},dx=\frac{-12t^5}{\left(t^6-1\right)^2}dt\)
Khi đó hàm dưới dấu nguyên hàm trở thành
\(R\left(t\right)=\frac{1}{\left(\frac{t^6+1}{t^6-1}\right)^2-1}\left[t^4-t^5\right]=\frac{\left(t^6-1\right)^2}{4t^6}\left(t^4-t^5\right)\)
Do đó :
\(I_3=\int\frac{\left(t^6-1\right)^2}{4t^6}\left(t^4-t^5\right).\frac{-12t^5}{\left(t^6-1\right)}dt=3\int\left(t^4-t^3\right)dt\)
\(=\frac{5}{3}t^5-\frac{3}{4}t^4+C=\frac{3}{5}\sqrt[6]{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^5}-\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2}+C\)
\(I=\int\dfrac{x}{1-cos2x}dx=\int\dfrac{x}{2sin^2x}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{x}{2}\\dv=\dfrac{1}{sin^2x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{2}\\v=-cotx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}\int cotxdx=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{cosx.dx}{sinx}\)
\(=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(sinx\right)}{sinx}=\dfrac{-x.cotx}{2}+\dfrac{1}{2}ln\left|sinx\right|+C\)
2/ Câu 2 bữa trước làm rồi, bạn coi lại nhé
3/ \(I=\int\left(2x+1\right)ln^2xdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln^2x\\dv=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{2lnx}{x}dx\\v=x^2+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)ln^2x-\int\left(2x+2\right)lnxdx=\left(x^2+x\right)ln^2x-I_1\)
\(I_1=\int\left(2x+2\right)lnx.dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\left(2x+2\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=x^2+2x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\left(x^2+2x\right)lnx-\int\left(x+2\right)dx=\left(x^2+2x\right)ln-\dfrac{x^2}{2}+2x+C\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)ln^2x-\left(x^2+2x\right)lnx+\dfrac{x^2}{2}-2x+C\)
4/ \(I=\int\left(2x-1\right)cosx.dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2x-1\\dv=cosx.dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=sinx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(2x-1\right)sinx-2\int sinx.dx=\left(2x-1\right)sinx+2cosx+C\)
5/ \(I=\int\left(x^2+x+1\right)e^xdx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=x^2+x+1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\left(2x+1\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x+1\right)e^x-\int\left(2x+1\right)e^xdx\)
\(I_1=\int\left(2x+1\right)e^xdx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=2x+1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\left(2x+1\right)e^x-2\int e^xdx=\left(2x+1\right)e^x-2e^x+C=\left(2x-1\right)e^x+C\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x+1\right)e^x-\left(2x-1\right)e^x+C=\left(x^2-x+2\right)e^x+C\)
6/ \(I=\int\left(2x+1\right).ln\left(x+2\right)dx\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(x+2\right)\\dv=\left(2x+1\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x+2}\\v=x^2+x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\left(x^2+x\right)ln\left(x+2\right)-\int\dfrac{x^2+x}{x+2}dx\)
\(=\left(x^2+x\right)ln\left(x+2\right)-\int\left(x-1+\dfrac{2}{x+2}\right)dx\)
\(I=\left(x^2+x\right)ln\left(x+2\right)-\dfrac{x^2}{2}+x-2ln\left|x+2\right|+C\)
Nhớ quy tắc ưu tiên khi tính nguyên hàm từng phần:
- Đặt u sẽ ưu tiên các hàm ln, log đầu tiên (luôn luôn đặt các hàm này là u nếu có mặt), sau đó đến các hàm đa thức P(x), sau đó là lượng giác hoặc e^
- Đặt dv thì theo thứ tự ngược lại, ưu tiên đặt lượng giác (sin, cos) và e^
Câu 1)
Ta có \(I=\int ^{1}_{0}\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^2}}=\int ^{1}_{0}\frac{dx}{4-(x-1)^2}\).
Đặt \(x-1=2\cos t\Rightarrow \sqrt{4-(x-1)^2}=\sqrt{4-4\cos^2t}=2|\sin t|\)
Khi đó:
\(I=\int ^{\frac{2\pi}{3}}_{\frac{\pi}{2}}\frac{d(2\cos t+1)}{2\sin t}=\int ^{\frac{2\pi}{3}}_{\frac{\pi}{2}}\frac{2\sin tdt}{2\sin t}=\int ^{\frac{2\pi}{3}}_{\frac{\pi}{2}}dt=\left.\begin{matrix} \frac{2\pi}{3}\\ \frac{\pi}{2}\end{matrix}\right|t=\frac{\pi}{6}\)
Câu 3)
\(K=\int ^{3}_{2}\ln (x^3-3x+2)dx=\int ^{3}_{2}\ln [(x+2)(x-1)^2]dx\)
\(=\int ^{3}_{2}\ln (x+2)d(x+2)+2\int ^{3}_{2}\ln (x-1)d(x-1)\)
Xét \(\int \ln tdt\): Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=t\end{matrix}\right.\Rightarrow \int \ln t dt=t\ln t-t\)
\(\Rightarrow K=\left.\begin{matrix} 3\\ 2\end{matrix}\right|(x+2)[\ln (x+2)-1]+2\left.\begin{matrix} 3\\ 2\end{matrix}\right|(x-1)[\ln (x-1)-1]\)
\(=5\ln 5-4\ln 4-1+4\ln 2-2=5\ln 5-4\ln 2-3\)
Bài 2)
\(J=\int ^{1}_{0}x\ln (2x+1)dx\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln (2x+1)\\ dv=xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{2dx}{2x+1}\\ v=\frac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(J=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^2\ln (2x+1)}{2}-\int ^{1}_{0}\frac{x^2}{2x+1}dx\)\(=\frac{\ln 3}{2}-\frac{1}{4}\int ^{1}_{0}(2x-1+\frac{1}{2x+1})dx\)
\(=\frac{\ln 3}{2}-\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x^2-x}{4}-\frac{1}{8}\int ^{1}_{0}\frac{d(2x+1)}{2x+1}=\frac{\ln 3}{2}-\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\ln (2x+1)}{8}\)
\(=\frac{\ln 3}{2}-\frac{\ln 3}{8}=\frac{3\ln 3}{8}\)
Biến đổi: ʃ\(\int\dfrac{1dx}{cosx\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(cosx-sinx\right)}=\int\dfrac{\sqrt{2}dx}{cos^2x\left(1-tanx\right)}=\int\dfrac{\sqrt{2}d\left(tanx\right)}{1-tanx}=-\sqrt{2}\ln trituyetdoi\left(1-tanx\right)\)
https://www.youtube.com/channel/UCzeAuHrGhk8hUszunoNtayw
Luyện Thi THPT Quốc Gia miễn phí 100%
1/ \(\int\limits^e_1\left(x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+lnx-\frac{1}{x}\right)|^e_1=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{e}+\frac{3}{2}\)
2/ \(\int\limits^2_1\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)dx=\int\limits^2_1\left(x\sqrt{x}+1\right)dx=\int\limits^2_1\left(x^{\frac{3}{2}}+1\right)dx\)
\(=\left(\frac{2}{5}.x^{\frac{5}{2}}+x\right)|^2_1=\frac{8\sqrt{2}-7}{5}\)
3/
\(\int\limits^2_1\frac{2x^3-4x+5}{x}dx=\int\limits^2_1\left(2x^2-4+\frac{5}{x}\right)dx=\left(\frac{2}{3}x^3-4x+5lnx\right)|^2_1=\frac{2}{3}+5ln2\)
4/ \(\int\limits^2_1x^2\left(3x-1\right)\frac{2}{x}dx=\int\limits^2_1\left(6x^2-2x\right)dx=\left(2x^3-x^2\right)|^2_1=11\)
a) \(f\left(x\right)=\frac{3x^2+3x+12}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)x}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x}=\frac{Ax\left(x+2\right)+Bx\left(x-1\right)+C\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)x}\)
Bằng cách thay các nghiệm thực của mẫu số vào hai tử số, ta có hệ :
\(\begin{cases}x=1\rightarrow18=3A\Leftrightarrow A=6\\x=-2\rightarrow18=6B\Leftrightarrow B=3\\x=0\rightarrow12=-2C\Leftrightarrow=-6\end{cases}\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{6}{x-1}+\frac{3}{x+2}-\frac{6}{x}\)
Vậy : \(\int\frac{3x^2+3x+12}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)x}dx=\int\left(\frac{6}{x-1}+\frac{3}{x+2}-\frac{6}{x}\right)dx=6\ln\left|x-1\right|+3\ln\left|x+2\right|-6\ln\left|x\right|+C\)
b) \(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+6}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-4}\)
\(=\frac{A\left(x-2\right)\left(x-4\right)+B\left(x-1\right)\left(x-4\right)+C\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)}\)
Bằng cách thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số ta có hệ :
\(\begin{cases}x=1\rightarrow9A=3\Leftrightarrow x=3\\x=2\rightarrow14=-2B\Leftrightarrow x=-7\\x=4\rightarrow30=6C\Leftrightarrow C=5\end{cases}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{3}{x-1}-\frac{7}{x-2}+\frac{5}{x-4}\)
Vậy :
\(\int\frac{x^2+2x+6}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)}dx=\)\(\int\left(\frac{3}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{5}{x-4}\right)dx\)=\(3\ln\left|x-1\right|-7\ln\left|x-2\right|+5\ln\left|x-4\right|+C\)