Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+) Với x =0 => y = -1 hoặc y =1 . Thay vào thỏa mãn
+) Với x khác 0
Có: \(x^4+x^3+x^2+x+1=y^2\)
<=> \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4y^2\)
=> \(4y^2=\left(4x^4+4x^3+x^2\right)+\left(3x^2+4x+4\right)>\left(4x^4+4x^3+x^2\right)=\left(2x+x\right)^2\)(1)
( vì \(3x^2+4x+4>0\))
và \(4y^2=\left(4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x\right)-5x^2< \left(4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x\right)\)
\(=\left(2x+x+2\right)^2\)(2)
( vì x khác 0 => \(x^2>0\))
tỪ (1) VÀ (2) => \(\left(2x^2+x\right)^2< 4y^2< \left(2x^2+x+2\right)^2\)
=> \(4y^2=\left(2x^2+x+1\right)^2\)
=> \(\left(2x^2+x\right)^2+3x^2+4x+4=\left(2x^2+x\right)^2+2\left(2x^2+x\right)+1\)
<=> \(x^2-2x-3=0\)
<=> x = -1 hoặc x = 3
Với x =-1 => y = -1 hoặc 1 . Thử lại thỏa mãn
Với x = 3 => y = 11 hoặc -11. Thử lại thỏa mãn.
Vậy: phương trình trên có nghiệm ( x; y ) là \(\left(0;\pm1\right);\left(-1;\pm1\right);\left(3;\pm11\right)\)
→Xét x ≥ 1 thì:
x⁶ + 3x³ + 1 > x⁶ + 2x³ + 1 = (x³ + 1)²
và x⁶ + 3x³ + 1 < x⁶ + 4x³ + 4 = (x³ + 2)²
=> (x³ + 1)² < y⁴ = x⁶ + 3x³ + 1 < (x³ + 2)²
=> y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp
=> pt đã cho vô nghiệm với x ≥ 1
→Xét x = 0: tính được y = ± 1 => pt có 2 nº (0; -1) và (0;1)
→Xét x = -1: y⁴ = -1 (vô nº)
→Xét x ≤ -2: để dễ nhìn đặt z = -x => z ≥ 2
pt trở thành: y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1
Ta thấy: z⁶ - 3z³ + 1 < z⁶ - 2z³ + 1 (vì z ≥ 2)
=> z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)²
và (z⁶ - 3z³ + 1) - (z⁶ - 4z³ + 4) = z³ - 3 > 0 (do z³ ≥ 8)
=> z⁶ - 3z³ + 1 > z⁶ - 4z³ + 4 = (z³ - 2)²
Do đó: (z³ - 2)² < y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)²
=> y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp
=> pt đã cho vô nº với x ≤ -2
Kết luận pt đã cho có 2 nº là (0; -1) và (0;1)
→Xét x ≥ 1 thì: x⁶ + 3x³ + 1 > x⁶ + 2x³ + 1 = (x³ + 1)² và x⁶ + 3x³ + 1 < x⁶ + 4x³ + 4 = (x³ + 2)² => (x³ + 1)² < y⁴ = x⁶ + 3x³ + 1 < (x³ + 2)² => y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp => pt đã cho vô nghiệm với x ≥ 1 →Xét x = 0: tính được y = ± 1 => pt có 2 nº (0; -1) và (0;1) →Xét x = -1: y⁴ = -1 (vô nº) →Xét x ≤ -2: để dễ nhìn đặt z = -x => z ≥ 2 pt trở thành: y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1 Ta thấy: z⁶ - 3z³ + 1 < z⁶ - 2z³ + 1 (vì z ≥ 2) => z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)² và (z⁶ - 3z³ + 1) - (z⁶ - 4z³ + 4) = z³ - 3 > 0 (do z³ ≥ 8) => z⁶ - 3z³ + 1 > z⁶ - 4z³ + 4 = (z³ - 2)² Do đó: (z³ - 2)² < y⁴ = z⁶ - 3z³ + 1 < (z³ - 1)² => y⁴ nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp => pt đã cho vô nº với x ≤ -2 Kết luận pt đã cho có 2 nº là (0; -1) và (0;1)
Câu hỏi của cherry moon - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath