Question

[Quang Đẹp Trai]

tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x^2 +y^2 +2xy -4x -40=0

Answer 1

[Dang Tung]

`5x^{2}+y^{2}+2xy-4x-40=0`

`<=>(x^{2}+2xy+y^{2})+(4x^{2}-4x+1)-41=0`

`<=>(x+y)^{2}+(2x-1)^{2}=41` \(=\left(\pm4\right)^2+\left(\pm5\right)^2\)

Do `x;y\in Z=>2x-1` là số lẻ 

Ta có bảng :

\(\begin{matrix}x+y&4&-4&4&-4\\2x-1&5&5&-5&-5\\x&3&3&-2&-2\\y&1&-7&6&-2\end{matrix}\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(3;1\right);\left(3;-7\right);\left(-2;6\right);\left(-2;-2\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Hoàng]

\(5x^2+y^2+2xy-4x-40=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+4x^2-4x+1-41=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(2x-1\right)^2=1\)

Vì x ; y là 2 số nguyên => \(\left(x+y\right)^2;\left(2x-1\right)^2\)là các số chính phương . \(\left(2x-1\right)^2\)là số chính phương lẻ .

Mặt khác : 41 = 25 + 16 = \(\left(\pm5^2\right)+\left(\pm4\right)^2\)

Ta có 4 trường hợp:

th1 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\2x-1=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\)

th2 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\2x-1=-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=6\end{matrix}\right.\)

th3 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-4\\2x-1=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-7\end{matrix}\right.\)

th4 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-4\\2x-1=-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-2\)