Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Ta xét : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)-n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< 2\sqrt{n+1}-2\)
- Ta xét : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-\left(n-1\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)< 2\sqrt{n}\) ;
Ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}\)
\(=2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\)
Vậy : \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-1\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+....+2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\left(đpcm\right)\)
giả sử \(\sqrt{1+\sqrt{2}}=m\) ( m là số hữu tỉ )
\(\Rightarrow\sqrt{2}=m^2-1\)nên \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ ( vô lí )
vậy ...
b) giả sử \(m+\frac{\sqrt{3}}{n}=a\)( a là số hữu tỉ ) thì \(\frac{\sqrt{3}}{n}=a-m\Rightarrow\sqrt{3}=n\left(a-m\right)\)nên là số hữu tỉ ( vô lí )
vậy ....
1. \(N=\left(\frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}-\frac{4x}{x-4}\right):\frac{\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}-x}\)
\(N=\left(\frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\frac{4x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}\)
\(N=\left(\frac{\left(2+\sqrt{x}\right)^2-\left(2-\sqrt{x}\right)^2+4x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}\)
\(N=\left(\frac{4+4\sqrt{x}+x-4+4\sqrt{x}-x+4x}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\right):\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}\)
\(N=\left(\frac{8\sqrt{x}+4x}{\left(2-\sqrt{x}\right)\left(2+\sqrt{x}\right)}\right).\frac{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}-3}\)
\(N=\frac{4\sqrt{x}\left(2+\sqrt{x}\right)}{\left(2+\sqrt{x}\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(2-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}-3}\)
\(N=\frac{4x}{x-3}\)
Vậy \(N=\frac{4x}{x-3}\)với \(x>0,x\ne4,x\ne9\)
2.Với \(x>0,x\ne4,x\ne9\)
Ta có \(N< 0\)\(\Leftrightarrow\frac{4x}{x-3}< 0\)\(\Leftrightarrow x-3< 0\)(Vì \(x>0\Leftrightarrow4x>0\)\(với\forall x\))\(\Leftrightarrow x< 3\)
Vậy ..........
3. Với \(x>0,x\ne4,x\ne9\)
Ta có \(\left|N\right|=1\Leftrightarrow\left|\frac{4x}{x-3}\right|=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{4x}{x-3}=1\\\frac{4x}{x-3}=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}4x=3-x\\4x=x-3\end{cases}}\)\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{3}{5} \left(N\right)\\x=-1\left(N\right)\end{cases}}\)
Vậy ...............
1./ Với mọi n thuộc N* thì: (1):\(\sqrt{n}+2>\sqrt{n}-2\Rightarrow\sqrt[3]{\sqrt{n}+2}>\sqrt[3]{\sqrt{n}-2}\Rightarrow A=\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}>0\forall n\in N\cdot\)
2./ \(A^3=2+\sqrt{n}+2-\sqrt{n}+3\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{n}\right)\left(2+\sqrt{n}\right)}\cdot\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\right)\)
\(A^3=4+3\sqrt[3]{4-n}\cdot A\)(2)
Do A thuộc N* mà A khác 0 (từ (1)) nên từ (2): \(\sqrt[3]{4-n}=\frac{A^3-4}{3A}\)là 1 số hữu tỷ. Hay: \(\sqrt[3]{4-n}=m\left(m\in Q\right)\Rightarrow n=4-m^3\).(Do n >=0 thuộc n => \(m\le\sqrt[3]{4}\); m thuộc Z) (*)
(2) trở thành: \(A^3-3m\cdot A-4=0\)(3)
Để (3) có nghiệm A tự nhiên thì A phải là ước tự nhiên của hệ số tự do ( -4). => A = 1; 2; 4.
- A = 1 => m = -1 ( TM (*) ) => n = 4 - (-1)3 = 5
- A = 2 => m = 8/6 không thuộc Z. Loại
- A = 4 => m = 5 ( không TM (*) ). Loại
Vậy, chỉ có duy nhất n = 5 (Thuộc N*) thì A = 1 thuộc N*.
\(A=\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\)
=>A3\(=4+3\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{n}\right).\left(2-\sqrt{n}\right)}\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{n}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{n}}\right)\)
\(\Leftrightarrow A^3=4+3\sqrt[3]{4-n}.A\)
<=>\(\frac{A^3-4}{A}=3\sqrt[3]{4-n}\)
<=>\(\left(A^2-\frac{4}{A}\right)^3=27.\left(4-n\right)\)(1)
Vì n thuộc N* nên: 27.(4-n) thuộc Z
=>\(\left(A^2-\frac{4}{A}\right)^3\)thuộc Z
=> \(A^3-\frac{4}{A}\)thuộc Z
=>A thuộc Ư(4)={1;-1;2;-2;4;-4}
Mà A thuộc N* nên: A=1;2;4
Với A=1 => PT(1) trở thành: -27=27.(4-n) =>n=5 (nhận)
Với A=2 =>PT(1) trở thành: 8=27.(4-n) =>n=100/27 (loại)
Với A=4 => PT(1) trở thành: 3375=27.(4-n) =>n=-121 (loại)
Vậy n=5
Ta có : \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(n+1\right)-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Áp dụng : \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2500}}=2\left(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{2500}}\right)< 2\left(1+\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2500}-\sqrt{2499}\right)=2\sqrt{2500}=2.50=100\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.