Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
phương trình 2 ⇔\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{2}{xy}=7-3xy\)⇔\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2=7-3xy\)
đoạn sau bạn tự giải nha
\(A=\dfrac{x^3+y^3+4}{xy+1}\ge\dfrac{x^3+y^3+4}{\dfrac{x^2+y^2}{2}+1}=\dfrac{x^3+y^3+4}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(x^3+x^3+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^3+y^3+1\right)+3}{2}\)
\(\ge\dfrac{\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+3}{2}=3\)
\(A_{min}=3\) khi \(x=y=1\)
Do \(x^2+y^2=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\sqrt{2}\\y\le\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\le\sqrt{2}x^2\\y^3\le\sqrt{2}y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{\sqrt{2}\left(x^2+y^2\right)+4}{xy+1}=\dfrac{4+2\sqrt{2}}{xy+1}\le\dfrac{4+2\sqrt{2}}{1}=4+2\sqrt{2}\)
\(A_{max}=4+2\sqrt{2}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;\sqrt{2}\right);\left(\sqrt{2};0\right)\)
Ta có : \(P=\dfrac{20}{x^2+y^2}+\dfrac{20}{2xy}+\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT C.B.S
\(\Rightarrow20\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge20.\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge20\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=1\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\ge1\)
Cộng hai BĐT trên lại \(\Rightarrow P\ge21\) => MinP=21 khi x=y=1
Cho \(x,y\ne0\) thỏa mãn \(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^4}{4}=4\) .
Tìm MIN, MAX của : P= \(xy+2021\)
Em kiểm tra đề là \(\dfrac{y^2}{4}\) hay \(\dfrac{y^4}{4}\)
Nếu đề đúng là \(\dfrac{y^4}{4}\) thì có thể coi như là không giải được
\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)+\left(x^2-xy+\dfrac{y^2}{4}\right)+xy=2\)
\(\Leftrightarrow2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+xy\ge xy\)
\(\Rightarrow P_{max}=2023\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\x-\dfrac{y}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right);\left(1;2\right)\)
\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)+\left(x^2+xy+\dfrac{y^2}{4}\right)-xy=2\)
\(\Rightarrow2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2-xy\ge-xy\)
\(\Rightarrow xy\ge-2\Rightarrow P\ge2019\)
\(P_{min}=2019\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\x+\dfrac{y}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(-1;2\right);\left(1;-2\right)\)
ta có : \(\left(x+y-1\right)^2=xy\Leftrightarrow x^2+y^2+xy-2x-2y+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+xy-1=0\)
\(0=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+xy-1\ge xy-1\)
\(\Leftrightarrow xy\le1\)
mà \(xy=\left(x+y-1\right)^2\le1\Leftrightarrow-1\le x+y-1\le1\)
\(\Leftrightarrow0\le x+y\le2\).
\(VT=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy dạng phân thức:
\(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\dfrac{4}{4}=1\)(*)
vì \(xy\le1\)nên \(\sqrt{xy}\ge xy\)( đúng vì nó tương đương \(\sqrt{xy}\left(1-\sqrt{xy}\right)\ge0\))
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\ge\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2}\)( vì \(x+y\le2\))
Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{2\sqrt{xy}}.\dfrac{\sqrt{xy}}{2}}=1\)(**)
từ (*) và (**) ta có \(VT\ge1+1=2\)
đẳng thức xảy ra khi x=y=1
Bài 5: Đặt \(t=\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\)
Ta đã biết bđt quen thuộc là \(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
Vậy nên ta sẽ chứng minh \(t\geq 3\)
Thật vậy: \(t\geq 3\Leftrightarrow 2(x+y+1)^2\geq 6(x+y+xy)\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Ta có: \(A=\dfrac{8t}{9}+\left(\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}\right)\geq \dfrac{24}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(t=3\Leftrightarrow x=y=1\)
3)
x^2 = 2x + \(\sqrt{2x-1}\) \(\Rightarrow\) x^2 = ( 2x -1 ) + \(\sqrt{2x-1}\) +1
\(\Rightarrow\) x^2 = (\(\sqrt{2x-1}\) + 1)^2 chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử là ok
Bài 1 dùng tam thức bậc 2, bài 2 chia cả tử và mẫu cho y2, đặt x/y=t rồi làm tương tự bài 1
ban lam bai 2 gium minh nha!