Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng 2 bđt sau \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\end{cases}}\)(tự chứng minh nhé)
\(A=\left(\frac{1}{x}+x\right)^2+\left(\frac{1}{y}+y\right)^2\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+x+y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{4}{x+y}+1\right)^2}{2}=\frac{\left(4+1\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" tại x = y = 1/2
3, \(P=a+b+\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}\)
=\(\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\)
AD bđt cosi vs hai số dương có:
\(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{a}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{2}{b}}=2\)
Có \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{3}{2}\) (vì a+b \(\ge3\))
=> \(P=\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\ge1+2+\frac{3}{2}\)
<=> P \(\ge4.5\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2a}=\frac{a}{2}\\\frac{b}{2}=\frac{2}{b}\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1\\b^2=4\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
=> a=2,b=3
Vậy minP=4.5 <=>a=1,b=2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta có : \(1=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{b}\right)^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow x+y\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\frac{a}{x}}{x}=\frac{\frac{b}{y}}{y}\)
Ta co:
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(1+\frac{9}{x+y+z}\right)^2}{3}=\frac{100}{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vay \(A_{min}=\frac{100}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Biến đổi:
\(P=y+\left(x-y\right)+\frac{1}{y\left(x-y\right)}\)
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương ta có:
\(P\ge3.\sqrt[3]{y\left(x-y\right)\frac{1}{y\left(x-y\right)}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
Vậy \(MIN_P=3\) khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)