Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì 3 nghiệm phân biệt : \(x_1,x_2,x_3\) lập thàng cấp số cộng, nên ta có thể đặt :
\(x_1=x_0-d,x_2=x_0;x_3=x_0+d\left(d\ne0\right)\). Theo giả thiết ta có :
\(x^3+3x^2-\left(24+m\right)x-26-n=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\)
\(=\left(x-x_0+d\right)\left(x-x_0\right)\left(x-x_0-d\right)\)
\(=x^3-3x_0x^2+\left(3x^2_0-d^2\right)x-x^3_0+x_0d^2\) với mọi x
Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :
\(\begin{cases}-3x_0=3\\3x_0^2-d^2=-\left(24+m\right)\\-x_0^3+x_0d^2=-26-n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\3-d^2=-24-m\\1-d^2=-26-n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\m=n\end{cases}\)
Vậy với m = n thì 3 nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng
Theo giả thiết ta có : \(\begin{cases}\left(5x-y\right)+\left(x+2y\right)=2\left(2x+3y\right)\\\left(y+1\right)^2\left(x-1\right)^2=\left(xy+1\right)^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}2x=5y\\x+y=2\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}2x=5y\\xy+x+y=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}2x=5y\\x+y=2\end{cases}\) hoặc \(\Leftrightarrow\begin{cases}2x=5y\\y\left(5y\right)+5y+2y=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{10}{3}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=0,y=0\\x=-\frac{3}{4},y=-\frac{3}{10}\end{cases}\)
Giả sử 4 nghiệm phân biệt của phương trình là : \(x_1;x_2;x_3;x_4\)
Đặt \(x^2=y\ge0\), ta có phương trình :
\(\Leftrightarrow y^2-\left(3m+5\right)y+\left(m+1\right)^2=0\left(1\right)\)
Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm phân biệt \(0 < y1 < y2\)
Khi đó (1) có 4 nghiệm là : \(x_1=-\sqrt{y_2};x_2=-\sqrt{y_1};x_3=-\sqrt{y_1};x_4=-\sqrt{y_2}\)
Rõ ràng \(x2 < x2 < x3 < x4\)
Theo đầu bài thì bốn nghiệm lập thành cấp số cộng, nên :
\(\Rightarrow x_3+x_1=2x_2\) V \(x_4+x_1=2x_3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}=2\sqrt{y_1}\)
\(\Rightarrow3\sqrt{y_1}=\sqrt{y_2}\)
\(\Leftrightarrow9y_1=y_2\) (*)
Áp dụng Viet cho phương trình (1) ta có hệ :
\(\begin{cases}\Delta=\left(3m+5\right)^2-4\left(m+1\right)^2>0\\S=y_1+y_2=10y_1=3m+5\\P=y_1y_2=9y_1^2=\left(m+1\right)^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=5\\m=-\frac{25}{19}\end{cases}\)