Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/
Đặt \(cosx=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(\Rightarrow t^2-2mt+4\left(m-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-4-2m\left(t-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+2-2m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t=2m-2\)
\(\Rightarrow0< 2m-2\le1\Rightarrow1< m\le\frac{3}{2}\)
b.
\(x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow\frac{x}{2}\in\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right)\)
Đặt \(sin\frac{x}{2}=t\Rightarrow-\frac{\sqrt{2}}{2}< t< \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow4t^2+2t+m-2=0\Leftrightarrow4t^2+2t-2=-m\)
Xét \(f\left(t\right)=4t^2+2t-2\) trên \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}\) ; \(f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\) ; \(f\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow-\frac{9}{4}\le f\left(t\right)< \sqrt{2}\Rightarrow-\frac{9}{4}\le-m< \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}< m\le\frac{9}{4}\)
Câu 1 với câu 2 sai đề, sin và cos nằm trong [-1;1], mà căn 2 với căn 3 lớn hơn 1 rồi
3/ \(\sin x=\cos2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi\\x=\pi-\frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k\frac{2}{3}\pi\\x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
4/ \(\Leftrightarrow\cos^2x-2\sin x\cos x=0\)
Xét \(\cos x=0\) là nghiệm của pt \(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
\(\cos x\ne0\Rightarrow1-2\tan x=0\Leftrightarrow\tan x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=...\)
5/ \(\Leftrightarrow\sin\left(2x+1\right)=-\cos\left(3x-1\right)=\cos\left(\pi-3x+1\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\pi+3x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+1=\frac{\pi}{2}-\pi+3x-1\\2x+1=\pi-\frac{\pi}{2}+\pi-3x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow....\)
6/ \(\Leftrightarrow\cos\left(\pi\left(x-\frac{1}{3}\right)\right)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\pi\left(x-\frac{1}{3}\right)=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+2k\Rightarrow x=\frac{2}{3}+2k\left(1\right)\\x-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}+2k\Rightarrow x=2k\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right):-\pi< x< \pi\Rightarrow-\pi< \frac{2}{3}+2k< \pi\) (Ủa đề bài sai hay sao ý nhỉ?)
7/ \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-2x+\frac{\pi}{3}\\5x+\frac{\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{2}+2x-\frac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow...\)
Thui, để đây bao giờ...hết lười thì làm tiếp :(
7)
\(sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=sin\left(\frac{\pi}{2}-2x-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-2x-\frac{\pi}{3}+k2\pi\\5x+\frac{\pi}{3}=\pi-\left(\frac{\pi}{2}-2x-\frac{\pi}{3}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\left(k\in Z\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{-\pi}{42}+k\frac{2\pi}{7}\\x=\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}\end{matrix}\right.\left(k\in Z\right)\)
Do:\(0< x< \pi\)
\(Với:x=\frac{-\pi}{42}+k\frac{2\pi}{7}\left(k\in Z\right)\Rightarrow khôngtìmđượck\)
\(Với:x=\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3}\left(k\in Z\right)\Leftrightarrow\frac{1}{4}< k< \frac{5}{4}\Rightarrow k=\left\{0;1\right\}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}\\k=1\Rightarrow x=\frac{5\pi}{6}\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của pt là: \(x=\frac{\pi}{6};x=\frac{5\pi}{6}\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+3\right).2sin^2x+\left(m+1\right).2sinx.cosx-\left(2m-1\right).2cos^2x=6m+8\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+3\right)\left(1-cos2x\right)+\left(m+1\right)sin2x-\left(2m-1\right)\left(1+cos2x\right)=6m+8\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)sin2x-\left(4m+2\right)cos2x=6m+4\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất, pt có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left(m+1\right)^2+\left(4m+2\right)^2\ge\left(6m+4\right)^2\)
\(\Leftrightarrow19m^2+30m+11\le0\)
\(\Leftrightarrow-1\le m\le-\frac{11}{19}\)
ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}\left(sinx+cosx\right)=2sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\\sinx.cosx=\frac{1}{2}sin2x=-\frac{1}{2}cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1-2sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{2}\end{cases}}\)
Vậy phương trình \(\Leftrightarrow2sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1-2sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2}=1\)
Đặt \(sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=a\Rightarrow PT\Leftrightarrow2a+\frac{1-2a^2}{2}=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=1+\frac{1}{\sqrt{2}}\\a=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
vì sin <1 nên \(sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)có 4 nghiệm trên \(\left(0,2\pi\right)\)
b/
\(cos4x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos6x\)
\(\Leftrightarrow2\left(2cos^22x-1\right)=1+4cos^32x-3cos2x\)
\(\Leftrightarrow4cos^32x-4cos^22x-3cos2x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(4cos^22x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(2cos4x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=1\\cos4x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\\x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{0;-\frac{11\pi}{12};-\frac{5\pi}{12};\frac{\pi}{12};\frac{7\pi}{12};-\frac{7\pi}{12};-\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{11\pi}{12}\right\}\)
Bạn tự cộng lại
c/
\(\Leftrightarrow2cos^2x-1-\left(2m+1\right)cosx+m+1=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-cosx-2mcosx+m=0\)
\(\Leftrightarrow cosx\left(2cosx-1\right)-m\left(2cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-m\right)\left(2cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\frac{1}{2}\\cosx=m\end{matrix}\right.\)
Do \(cosx=\frac{1}{2}\) vô nghiệm trên \(\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\) nên pt có nghiệm khi và chỉ khi \(cosx=m\) có nghiệm trên khoảng đã cho
Mà \(-1< cosx< 0\Rightarrow-1< m< 0\)
\(sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=2m\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=m\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right).cos\dfrac{\pi}{3}-cos\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right).sin\dfrac{\pi}{3}=m\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}\right)=m\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)=m\)
Do \(-1\le sin\left(x-\dfrac{2\pi}{3}\right)\le1\) \(\Rightarrow\) pt vô nghiệm khi và chỉ khi \(\left|m\right|>1\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-10\le m< -1\\1< m\le10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) có 18 giá trị nguyên của m để pt đã cho vô nghiệm
uốn giải bài này nhanh bạn cần biết đến công thức
PT:a.sinx +b.cosx =c có nghiệm khi:a2+b2≥c2a2+b2≥c2
ADCT:(m−1)2+m2≥3−2m(m−1)2+m2≥3−2m
⇔m2≥1⇔m2≥1
[m≥1m≤−1