Question

[Nguyen Thi Trinh]

tìm m để phương trình, bất phương trình sau có nghiệm:

a. \(\frac{3x^2-1}{\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2x-1}+mx\)

b. \(\sqrt{x-1}+4m\sqrt[4]{x^2-3x+2}+\left(m+3\right)\sqrt{x-2}=0\)

c. \(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}\ge m\)

d. \(m\sqrt{2x^2+9}< x+m\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ ĐKXĐ: \(x>\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-1}{\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-1}=mx\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-2x}{\sqrt{2x-1}}=mx\Leftrightarrow\frac{3x-2}{\sqrt{2x-1}}=m\)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a>0\Rightarrow x=\frac{a^2+1}{2}\Rightarrow\frac{3a^2-1}{2a}=m\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=\frac{3a^2-1}{2a}\) với \(a>0\)

\(f'\left(a\right)=\frac{12a^2-2\left(3a^2-1\right)}{4a^2}=\frac{6a^2+2}{4a^2}>0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến

Mặt khác \(\lim\limits_{a\rightarrow0^+}\frac{3a^2-1}{2a}=-\infty\); \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{3a^2-1}{2a}=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

b/ ĐKXĐ: \(x\ge2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[4]{\left(x-1\right)^2}+4m\sqrt[4]{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\left(m+3\right)\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}=0\)

Nhận thấy \(x=2\) không phải là nghiệm, chia 2 vế cho \(\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}\) ta được:

\(\sqrt[4]{\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2}+4m\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}+m+3=0\)

Đặt \(\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}=a\) pt trở thành: \(a^2+4m.a+m+3=0\) (1)

Xét \(f\left(x\right)=\frac{x-1}{x-2}\) khi \(x>0\)

\(f'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(x-2\right)^2}< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{x-1}{x-2}=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x-1}{x-2}=1\) \(\Rightarrow f\left(x\right)>1\Rightarrow a>1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow m\left(4a+1\right)=-a^2-3\Leftrightarrow m=\frac{-a^2-3}{4a+1}\)

Xét \(f\left(a\right)=\frac{-a^2-3}{4a+1}\) với \(a>1\)

\(f'\left(a\right)=\frac{-2a\left(4a+1\right)-4\left(-a^2-3\right)}{\left(4a+1\right)^2}=\frac{-4a^2-2a+12}{\left(4a+1\right)^2}=0\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)

\(f\left(1\right)=-\frac{4}{5};f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{4};\) \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{-a^2-3}{4a+1}=-\infty\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\le-\frac{3}{4}\Rightarrow m\le-\frac{3}{4}\)