Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)
Nếu m = 1, hệ vô nghiệm
Nếu m ≠ 1, hệ tương đương
\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)
a.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le m\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m=2\)
b.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+1\right)x\ge6\\2x\le6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{6}{m^2+1}\\x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{6}{m^2+1}=3\)
\(\Leftrightarrow m=\pm1\)
c.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+9\ge x^2+7x+1\\5x\ge2m-8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{8}{13}\\x\ge\dfrac{2m-8}{5}\end{matrix}\right.\)
Pt có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{2m-8}{5}=\dfrac{8}{13}\Leftrightarrow m=\dfrac{72}{13}\)
d.
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
TH1:
\(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-9=m^2-9m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=1\)
TH2:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+3< 0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=1\) (ktm)
Vậy \(m=1\)
e.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)x\ge-2m+3\\\left(4-4m\right)x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)\left(4-4m\right)>0\\\dfrac{-2m+3}{2m-1}=\dfrac{3}{4-4m}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\)
Lý thuyết cơ bản:
BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\) có nghiệm \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\min\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)
BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\max\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)
Nói tóm lại: có nghiệm thì so sánh với min, nghiệm đúng với mọi x thì so sánh với max
Trong trường hợp \(f\left(x\right)\ge f\left(m\right)\) thì làm ngược lại.
Ta có: \(x^2-3x-4\le0\Leftrightarrow-1\le x\le4\)
Xét \(x^3-3\left|x\right|x\ge m^2-6m\) trên \(\left[-1;4\right]\)
BPT có nghiệm khi \(f\left(m\right)=m^2-6m\le\max\limits_{\left[-1;4\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=x^3-3\left|x\right|x\)
- Với \(-1\le x\le0\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+3x^2=x^3+3x^2-2+2\)
\(=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)^2-3\right]+2\le2\)
- Với \(0\le x\le4\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-3x^2=x^3-3x^2-16+16\)
\(=\left(x-4\right)\left(x^2+x+4\right)+16\le16\)
So sánh 2 giá trị 2 và 16 ta suy ra \(\max\limits_{\left[-1;4\right]}\left(x^3-3\left|x\right|x\right)=f\left(4\right)=16\)
\(\Rightarrow m^2-6m\le16\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\)
\(\Leftrightarrow-2\le m\le8\)
a, hệ\(\Leftrightarrow\)$\left \{ {{x>\frac{1}{2} } \atop {x<m+2}} \right.$
để hệ có nghiệm ⇒ m+2< $\frac{1}{2}$ ⇒ m<$\frac{-3}{2}$
\(x^2-2x< 0\Leftrightarrow0< x< 2\) \(\Rightarrow D_1=\left(0;2\right)\)
Xét \(f\left(x\right)=x^2+2\left(m-1\right)x+m^2\ge0\) (1)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2=1-2m\)
- Với \(\Delta'\le0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\) thì (1) luôn đúng \(\Leftrightarrow\) hệ có nghiệm
- Với \(m< \dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) gọi 2 nghiệm của (1) là \(x_1< x_2\) \(\Rightarrow D_2=(-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty)\)
Để hệ vô nghiệm \(\Leftrightarrow D_1\cap D_2=\varnothing\) \(\Leftrightarrow x_1\le0< 2\le x_2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)\le0\\f\left(2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\le0\\4+4\left(m-1\right)+m^2\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m^2+4m\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=0\)
\(\Rightarrow\) Hệ có nghiệm khi \(m\ne0\)
Vậy
Lời giải:
Nếu $x=-2$ thì HBPT $\Leftrightarrow $m\geq -2$
Nếu $x\neq -2$ thì HBPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\leq m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq x\leq m(*)\).
Giả sử $m>-1$ thì HBPT có vô số nghiệm thực $x$
Giả sử $m< -1$ thì $(*)$ vô lý nên HBPT chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 nghiệm $x=-2$
Giả sử $m=-1$ thì $(*)$ có nghiệm $x=-1$. Tổng kết lại HBPT có 2 nghiệm $x=-1$ và $x=-2$