Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-m-1\right)\le0\)
\(\Rightarrow m\le x\le m+1\)
Để hệ có nghiệm \(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2-2x+1\le m\left(1\right)\) có nghiệm thuộc \(\left[m;m+1\right]\)
\(\Leftrightarrow m\ge\min\limits_{\left[m;m+1\right]}\left(x^2-2x+1\right)\)
- TH1: \(m\le1\le m+1\Rightarrow0\le m\le1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(1\right)=0\Rightarrow m\ge0\Rightarrow0\le m\le1\)
- TH2: \(m>1\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[m;m+1\right]\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(m\right)=m^2-2m+1\)
\(\Rightarrow m\ge m^2-2m+1\Leftrightarrow m^2-3m+1\le0\)
\(\Rightarrow\frac{3-\sqrt{5}}{2}\le m\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)
Kết hợp điều kiên \(\Rightarrow1< m\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)
Vậy với \(0\le m\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) thì BPT đã cho có nghiệm
Với \(m=0\) hệ có nghiệm \(x=1\)
Với \(m\ne0\)
Xét \(x^2-2x+1-m\le0\) (1)
\(\Delta'=m\Rightarrow\) để (1) có nghiệm thì \(m>0\Rightarrow1-\sqrt{m}\le x\le1+\sqrt{m}\) (3)
Xét \(f\left(x\right)=x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m\le0\) (2)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m\right)=m+1\)
Với \(m>0\Rightarrow\) (2) có nghiệm \(m+1-\sqrt{m+1}\le x\le m+1+\sqrt{m+1}\) (4)
Khi \(m>0\Rightarrow m+1+\sqrt{m+1}>1+\sqrt{m}\)
\(\Rightarrow\) Để (3) giao (4) khác rỗng
\(\Leftrightarrow m+1-\sqrt{m+1}\le1+\sqrt{m}\)
\(\Leftrightarrow m-\sqrt{m}\le\sqrt{m+1}\)
- Với \(0< m\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VP>0\\VT\le0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng
- Với \(m>1\) bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow m^2-2m\sqrt{m}+m\le m+1\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m\sqrt{m}-1\le0\)
\(t=\sqrt{m}\Rightarrow t^4-2t^3-1\le0\)
Rất tiếc BPT này ko giải được ^.^
Xét kiểu này toi mạng đấy, để BPT có nghiệm thì hợp nghiệm của BPT dưới và trên phải khác rỗng, hai BPT đều có nghiệm là chưa đủ đâu
\n\nVí dụ, BPT trên có nghiệm 1<x<2
\n\nBPT dưới có nghiệm 3<x<4
\n\n2 BPT đều có nghiệm nhưng hệ BPT lại vô nghiệm
\n
\(x^2+10x+16\le0\Rightarrow-8\le x\le-2\)
- Với \(m=0\Rightarrow0>1\) (vô nghiệm) \(\Rightarrow\) thỏa mãn (1)
- Với \(m>0\Rightarrow x>\frac{3m+1}{m}\)
Để hệ đã cho vô nghiệm \(\Rightarrow\frac{3m+1}{m}\ge-2\Leftrightarrow\frac{5m+1}{m}\ge0\) (thỏa \(\forall m>0\)) (2)
- Với \(m< 0\Rightarrow x< \frac{3m+1}{m}\)
Để hệ đã cho vô nghiệm
\(\Rightarrow\frac{3m+1}{m}\le-8\Leftrightarrow\frac{11m+1}{m}\le0\Rightarrow\frac{-1}{11}\le m< 0\) (3)
Kết hợp (1); (2); (3) ta được \(m\ge\frac{-1}{11}\) thì hệ pt đã cho vô nghiệm
b) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là $x>1$
Xét bất phương trình thứ hai của hệ. Ta có: \(\Delta'=m^2-1\)
\(\circledast\Delta'=0\Leftrightarrow m=\pm1\)
- Với $m=1$, nghiệm của bất phương trình là $m=1$. Do đó, hệ vô nghiệm
- Với $m=-1$, nghiệm của bất phương trình là $m=-1$. Do đó, hệ vô nghiệm
\(\circledast\)Nếu \(\Delta'< 0\) hay $-1<m<1$ thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm
\(\circledast\)Nếu \(\Delta'>0\) hay $m<-1$ hoặc $m>1$ thì tam thức ở vế trái của bất phương trình này có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\). Nghiệm của bất phương trình này là:
\(x_1\le x\le x_2\left(x_1< x_2\right)\)
Theo định lí Vi-ét, ta có \(x_1x_2=1,x_1+x_2=2m\)
- Nếu $m<-1$ thì cả hai nghiệm \(x_1,x_2\) đều âm. Do đó, hệ vô nghiệm
- Nếu $m>1$ thì hai nghiệm \(x_1,x_2\) đều dương. Ngoài ra, vì \(x_1x_2=1\) và \(x_1\ne x_2\) nên \(x_1< 1< x_2\). Do đó, hệ có nghiệm
Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m>1\)