Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án D
Đặt t = 3sin x - 4cos x => -5 ≤ t ≤ 5 (dùng bất đẳng thức bunhiacopxki)
Ta có: y = (3sin x – 4cos x)2 – 6sin x + 8cos x
= t2 – 2t = (t – 2)2 -1
Do -5 ≤ t ≤ 5 => 0 ≤ (t – 2)2 ≤ 36 => min y = -1
Suy ra yêu cầu bài toán -1 ≥ 2m - 1 ⇔ m ≤ 0.
Hàm xác định trên R khi và chỉ khi:
\(8cosx-6sinx-\left(3sinx-4cosx\right)^2-2m\ge0;\forall x\) (1)
Đặt \(3sinx-4cosx=t\)
\(\Rightarrow t^2=\left(3sinx-4cosx\right)^2\le\left(3^2+\left(-4\right)^2\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=25\)
\(\Rightarrow-5\le t\le5\)
(1) tương đương:
\(-2t-t^2-2m\ge0;\forall t\in\left[-5;5\right]\)
\(\Leftrightarrow2m\le-t^2-2t;\forall t\in\left[-5;5\right]\)
\(\Leftrightarrow2m\le\min\limits_{t\in\left[-5;5\right]}\left(-t^2-2t\right)\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2-2t\) trên \(\left[-5;5\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=-1\) ; \(f\left(-5\right)=-15\) ; \(f\left(-1\right)=1\) ; \(f\left(5\right)=-35\)
\(\Rightarrow2m\le-35\Rightarrow m\le-\dfrac{35}{2}\)
Đặt \(a=3sinx-4cosx\Rightarrow a^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=25\)
\(\Rightarrow-5\le a\le5\)
\(y=a^2-2a+1\ge2m\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2\ge2m\)
Để BPT đúng với mọi x thuộc R
\(\Leftrightarrow2m\le\min\limits_{\left[-5;5\right]}\left(a-1\right)^2\)
Mà \(\left(a-1\right)^2\ge0\) \(\forall a\Rightarrow2m\le0\Rightarrow m\le0\)
Đáp án B
Đặt t = 3sin x - 4 cos x => -5 ≤ t ≤ 5
Ta có: y = t2 – 2t + 2m – 1 = (t – 1)2 + 2m - 2
Với mọi t ta có (t – 1)2 ≥ 0 nên y ≥ 2m - 2 => min y = 2m - 2
Hàm số chỉ nhận giá trị dương ⇔ y > 0 ∀x ∈ R ⇔ min y > 0
⇔ 2m - 2 > 0 ⇔ m > 1
\(\Leftrightarrow\left(3sinx-4cosx\right)^2-2\left(3sinx-4cosx\right)\le2m-1\)
Đặt \(3sinx-4cosx=5\left(\frac{3}{5}sinx-\frac{4}{5}cosx\right)=5sin\left(x-a\right)=t\)
\(\Rightarrow-5\le t\le5\)
BPT trở thành: \(t^2-2t+1\le2m\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\le2m\)
Để pt nghiệm đúng với mọi x thì \(2m\ge\max\limits_{\left[-5;5\right]}\left(t-1\right)^2\)
Mà \(\left(t-1\right)^2\le\left(-5-1\right)^2=36\)
\(\Rightarrow2m\ge36\Rightarrow m\ge18\)
Có \(2019-18+1=2002\) giá trị
Không đáp án nào đúng
a.
- Với \(m=\pm1\Rightarrow-6x=1\Rightarrow x=-\dfrac{1}{6}\) có nghiệm
Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)
- Với \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\Rightarrow1-m^2>0\)
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(1-m\right)^2x^3-6x-1\right]\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1-m^2-\dfrac{6}{m^2}-\dfrac{1}{m^3}\right)=-\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;0\right)\)
- Với \(-1< m< 1\Rightarrow1-m^2< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left[\left(1-m^2\right)-\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{1}{x^3}\right]=+\infty\left(1-m^2\right)=+\infty\) dương
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;+\infty\right)\)
Vậy pt đã cho có nghiệm với mọi m
b. Để chứng minh pt này có đúng 1 nghiệm thì cần áp dụng thêm kiến thức 12 (tính đơn điệu của hàm số). Chỉ bằng kiến thức 11 sẽ ko chứng minh được
c.
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)^3+2x-5\)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(f\left(2\right)=4-5=-1< 0\)
\(f\left(3\right)=6-5=1>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\) với mọi m
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2;3) với mọi m
Hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm
Trừ vế cho vế:
\(\Rightarrow x^3-y^3=6\left(x^2-y^2\right)-m\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m=0\end{matrix}\right.\)
- Với \(x=y\Rightarrow x^3=8x^2-mx\Leftrightarrow x\left(x^2-8x+m\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2-8x+m=0\end{matrix}\right.\)
Do đó hệ luôn luôn có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\) với mọi m
Để hệ chỉ có 1 nghiệm thì \(x^2-8x+m=0\) vô nghiệm \(\Rightarrow m>16\)
Khi đó, xét pt \(x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m=0\) (1)
Ta có:
\(x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m>\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2-6\left(x+y\right)+16=\dfrac{3}{4}\left(x+y-4\right)^2+4>0\)
\(\Rightarrow\) (1) vô nghiệm hay hệ có đúng 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)
Vậy \(m>16\) thì hệ có 1 nghiệm
đặt \(3sinx-4cosx=t\) đk \(-5\le t\le5\) pt trên trở thành \(t^2-2t\ge2m-1\)
\(\left(t-1\right)^2\ge2m\Leftrightarrow m\le0\)
bạn ơi cái bước gần cuối giải như nào để ra m <= 0 thế ạ?