Question

[๛๖ۣۜMĭη²ƙ⁸࿐]

Tìm gTNN : x mũ 2 / x - 1 với x > 1

Answer 1

[Kudo Shinichi]

Đặt \(A=\frac{x^2}{x-1}\left(x>1\right)\)

\(A=\frac{x^2-1+1}{x-1}\)

\(A=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}+\frac{1}{x-1}\)

\(A=x+1+\frac{1}{x-1}\)

\(A=x-1+\frac{1}{x-1}+2\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có :

\(x-1+\frac{1}{x-1}+2\ge2\sqrt{\left(x-1\right).\frac{1}{\left(x-1\right)}}+2\)

\(\Leftrightarrow x-1+\frac{1}{x-1}+2\ge2+2=4\)

\(\Leftrightarrow A_{min}=4\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : \(x-1=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x=2\)

Chúc bạn học tốt !!!

Answer 2

[Hoàng hôn ( Cool Team )]

Đặt A=\frac{x^2}{x-1}\left(x>1\right)A=x−1x2​(x>1)

A=\frac{x^2-1+1}{x-1}A=x−1x2−1+1​

A=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}+\frac{1}{x-1}A=x−1(x−1)(x+1)​+x−11​

A=x+1+\frac{1}{x-1}A=x+1+x−11​

A=x-1+\frac{1}{x-1}+2A=x−1+x−11​+2

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có :

x-1+\frac{1}{x-1}+2\ge2\sqrt{\left(x-1\right).\frac{1}{\left(x-1\right)}}+2x−1+x−11​+2≥2(x−1).(x−1)1​​+2

\Leftrightarrow x-1+\frac{1}{x-1}+2\ge2+2=4⇔x−1+x−11​+2≥2+2=4

\Leftrightarrow A_{min}=4⇔Amin​=4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x-1=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x=2x−1=x−11​⇔x=2