Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
Điều kiện: \(x\geq \frac{-1}{2}\)
Bình phương hai vế:
\(x^2+4=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+4x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{13}}{3}\)
Do \(x\geq -\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}\) là nghiệm duy nhất của pt.
2)
a) \(x^2+x+12\sqrt{x+1}=36\) (ĐK: \(x\geq -1\) )
\(\Leftrightarrow (x^2+x-12)+12(\sqrt{x+1}-2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)(x+4)+\frac{12(x-3)}{\sqrt{x+1}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)\left[x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\right]=0\)
Do \(x\geq -1\Rightarrow x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\geq 3+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}>0\)
Do đó \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\) (thỏa mãn)
Vậy pt có nghiệm x=3
b) Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+7}=a\\ x+4=b\end{matrix}\right.\)
PT tương đương:
\(x^2+7+4(x+4)-16=(x+4)\sqrt{x^2+7}\)
\(\Leftrightarrow a^2+4b-16=ab\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4)-b(a-4)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4-b)=0\)
+ Nếu \(a-4=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=4\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm 3\) (thỏa mãn)
+ Nếu \(a+4-b=0\Leftrightarrow a=b-4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=x\)
\(\Rightarrow x\geq 0\). Bình phương hai vế thu được: \(x^2+7=x^2\Leftrightarrow 7=0\) (vô lý)
Vậy pt có nghiệm \(x=\pm 3\)
Câu 3:
Ta có \(M=\frac{x^2+2000x+196}{x}\)
\(\Leftrightarrow M=x+2000+\frac{196}{x}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+\frac{196}{x}\geq 2\sqrt{196}=28\)
\(\Rightarrow M=x+\frac{196}{x}+2000\geq 28+2000=2028\)
Vậy M (min) =2028. Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{196}{x}\\ x>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=14\)
Bài 1:
a) 4x-\(\sqrt{9x^2-12x+4}\)
= 4x-\(\sqrt{\left(3x-2\right)^2}\)
= 4x-\(|3x-2|\)
= 4x-3x+2
= x+2
b) Thay x=\(\dfrac{2}{7}\)vào biểu thức A, ta có:
A= \(\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{2}\)= \(\dfrac{11}{14}\)
Bài 2:
a) \(\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x^2+2x+1}\right)^2=\left(\sqrt{x+1}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)x2+2x+1=x+1
\(\Leftrightarrow\)x2+2x+1-x-1=0
\(\Leftrightarrow\)x2-x=0
\(\Leftrightarrow\)x(x-1)=0
\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(2x+y-2\sqrt{xy}-6\sqrt{x}+9=0\) ĐK: x≥0; y≥0
⇔\(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(x-6\sqrt{x}+9\right)\)= 0
⇔\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-3\right)^2=0\)
⇔\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\) hoặc \(\left(\sqrt{x}-3\right)^2=0\)
⇔\(\sqrt{x}=\sqrt{y}\) hoặc \(\sqrt{x}=3\)
⇔x=y=9 (thỏa mãn)
Vậy x=y=9
P đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\frac{1}{P}\)đạt giá trị lớn nhất.
Xét : \(\frac{2}{P}=\frac{x^2+x+1}{x}=x+\frac{1}{x}+1\). Áp dụng bđt Cauchy với hai số không âm x và 1/x được :
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Rightarrow\frac{2}{P}\ge3\Leftrightarrow P\le\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x=\frac{1}{x}\end{cases}\Leftrightarrow}x=1\)
Vậy Min P = 2/3 tại x = 1
GTNN
\(P=\frac{2x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge0\forall x\ge0\)
GTLN
\(P=\frac{2}{\frac{x^2+x+1}{x}}=\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}\le\frac{2}{2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)