Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\)+2ca
Do a,b,c dương nên ADBĐT Cauchy ta được:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{4}{(a+b+c)^2}=4\)
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow2ab+2bc+2ca\le\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{1}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra P\(\ge4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}\)
Dấu = khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)
ta có A=\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)
ta có \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+...=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{\frac{2}{3}}{2ab}+...\ge\frac{\left(1+3.\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=....\)
đến đây thì dễ rồi, cái kia cũng svacxơ và chú ý ab+bc+ca<=(a+b+c)^2/3
mượn chỗ nhok chút!
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
mà \(\sqrt{2\left(x-y\right)^2+10x-6y+8}=\sqrt{2\left(x^2-2xy+y^2+5x-3y+4\right)}\)
=\(\sqrt{2\left(x-y+2\right)^2+2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{2\left(x+y\right)}\)
=>VT<=VP
dấu = xảy ra <=> y=x+2
với x=y-2, thay vào A, ta có
A=\(x^4+\left(x+2\right)^2-5\left(x+x+2\right)+2020=x^4+x^2+4x+4-10x-10+2020\)
=\(x^4+x^2-6x+2014=x^4-2x^2+1+3\left(x^2-2x+1\right)+2010\)
=\(\left(x^2-1\right)^2+3\left(x-1\right)^2+2010\ge2010\)
dấu = xảy ra <=> x=1 và y=3
Đầu tiên,ta chứng minh BĐT phụ \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2-4xy}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng).Dấu "=" xảy ra khi x = y.
Và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\).Áp dụng BĐT AM-GM(Cô si),ta có; \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)}{2}}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
\(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\ge4+\frac{1}{\frac{1}{2}}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 tức là a=b=1/2
Vậy Min P = 6 khi a = b = 1/2
a.
\(A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+2ab+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=6\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b.
\(B=\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}=3\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge3\cdot\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=14\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
c.
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) với mọi x,y
Áp dụng ta có:
\(C=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
2.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\left[\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{x}\cdot\frac{a}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}\cdot\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Áp dụng nó ta chứng minh được:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Áp dụng vào bài làm:
\(D=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ca+bc+ab+ca+bc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(Q=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\ge\frac{16}{a^2+b^2+ab+ab}=\frac{16}{\left(a+b\right)^2}=4\)
\(Q_{min}=4\) khi \(a=b=1\)
Hoặc: \(Q=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{ab}\ge\frac{2}{ab}+\frac{2}{ab}=\frac{4}{ab}\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^2}=4\)
Lời gải:
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz và BĐT AM-GM:
$M=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+ab}+\frac{1}{a^2+b^2}$
$\geq \frac{(1+1+1+1+1)^2}{2ab+2ab+a^2+ab+b^2+ab+a^2+b^2}=\frac{25}{2a^2+2b^2+6ab}$
$=\frac{25}{2(a^2+b^2+2ab)+2ab}$
$=\frac{25}{2(a+b)^2+2ab}=\frac{25}{2+2ab}\geq \frac{25}{2+2.\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{25}{2+\frac{2}{4}}=10$
Vậy $M_{\min}=10$. Giá trị này đạt tại $a=b=\frac{1}{2}$