Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
Điều kiện: \(x\geq \frac{-1}{2}\)
Bình phương hai vế:
\(x^2+4=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+4x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{13}}{3}\)
Do \(x\geq -\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}\) là nghiệm duy nhất của pt.
2)
a) \(x^2+x+12\sqrt{x+1}=36\) (ĐK: \(x\geq -1\) )
\(\Leftrightarrow (x^2+x-12)+12(\sqrt{x+1}-2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)(x+4)+\frac{12(x-3)}{\sqrt{x+1}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)\left[x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\right]=0\)
Do \(x\geq -1\Rightarrow x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\geq 3+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}>0\)
Do đó \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\) (thỏa mãn)
Vậy pt có nghiệm x=3
b) Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+7}=a\\ x+4=b\end{matrix}\right.\)
PT tương đương:
\(x^2+7+4(x+4)-16=(x+4)\sqrt{x^2+7}\)
\(\Leftrightarrow a^2+4b-16=ab\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4)-b(a-4)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4-b)=0\)
+ Nếu \(a-4=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=4\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm 3\) (thỏa mãn)
+ Nếu \(a+4-b=0\Leftrightarrow a=b-4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=x\)
\(\Rightarrow x\geq 0\). Bình phương hai vế thu được: \(x^2+7=x^2\Leftrightarrow 7=0\) (vô lý)
Vậy pt có nghiệm \(x=\pm 3\)
Câu 3:
Ta có \(M=\frac{x^2+2000x+196}{x}\)
\(\Leftrightarrow M=x+2000+\frac{196}{x}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+\frac{196}{x}\geq 2\sqrt{196}=28\)
\(\Rightarrow M=x+\frac{196}{x}+2000\geq 28+2000=2028\)
Vậy M (min) =2028. Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{196}{x}\\ x>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=14\)
a/ Cho x, y ≥ 1. Chứng minh: 1/(1 + x^2) + 1/(1 + y^2) ≥ 2/(1 + xy)
b/ Đề:...Tìm GTLN
Có:
\(\dfrac{1}{4x^2-4x+2}=\dfrac{1}{\left(2x-1\right)^2+1}\le\dfrac{1}{2}\forall x\ge1\)
\(\dfrac{1}{9y^2+6y+2}=\dfrac{1}{\left(3y+1\right)^2+1}\le\dfrac{1}{2}\forall y\ge0\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{4x^2-4x+2}+\dfrac{1}{9y^2+6y+2}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)
Vậy MAXA = 1 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
\(a.x^2-2xy+6y^2-12x+2y+41\)
\(=x^2-2xy+y^2-12x+12y+36+5y^2-10y+5\)
\(=\left(x-y\right)^2-2.6\left(x-y\right)+36+5\left(y-1\right)^2\)
\(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2\) ≥ \(0\)
\(b.\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{2x}{y}-\dfrac{2y}{x}+3\)
\(=\dfrac{x^2}{y^2}-2.\dfrac{x}{y}+1+\dfrac{y^2}{x^2}-2.\dfrac{y}{x}+1+1\)
\(=\left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^2+1>0\)