Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a^4\left(1+b\right)\left(1+c\right)}=\frac{1}{\frac{a^4\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{abc}}=\frac{\frac{1}{a^3}}{\left(\frac{1}{b}+1\right)\left(\frac{1}{c}+1\right)}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\), tương tự suy ra:
\(A=\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\)
Theo BĐT AM-GM ta có: \(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3x}{4}\)
Tương tự suy ra \(A+\frac{3}{4}+\frac{x+y+z}{4}\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1
Ta có:
\(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)
\(X=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}\right)\left(1+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}\right)\left(1+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}\right)\)
\(\ge\frac{4}{\sqrt[4]{27a^3}}.\frac{4}{\sqrt[4]{27b^3}}.\frac{4}{\sqrt[4]{27c^3}}\)
\(=\frac{4^3}{\sqrt[4]{27^3}.\sqrt[4]{a^3b^3c^3}}\ge\frac{4^3}{\sqrt[4]{27^3}.\sqrt[4]{\frac{1}{27^3}}}=64\)
\(P=\left(1+\frac{a}{3b}\right)\left(1+\frac{c}{3a}+\frac{b}{3c}+\frac{b}{9a}\right)\)
\(P=1+\frac{1}{3}\left(\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\frac{1}{27}\)
\(P\ge1+\frac{1}{27}+\frac{1}{3}.3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}+\frac{1}{9}.3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=\frac{64}{27}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{64}{27}\) khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT AM - GM:
\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
\(1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)
\(\Leftrightarrow3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}\)
Tương tự ta CM được:
\(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16b^2c^2}}\)
\(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\ge7\sqrt[7]{\frac{1}{16c^2a^2}}\)
Nhân vế theo vế 3 bất đẳng thức trên:
\(S\ge343\sqrt[7]{\frac{1}{4096a^4b^4c^4}}\ge343\sqrt[7]{\frac{1}{4096.\frac{1}{8^4}}}=343\)
\(\Rightarrow Min_S=343\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
để biểu thức cho đơn giản , ta đặt x=a+1,y=b+1,z=c+1(x,y,z>0)
thì giả thiết thành \(\frac{1}{x+1}+\frac{3}{y+3}\le\frac{z}{z+2}\) .Tìm min xyz
Áp dụng bất đẳng thức cauchy:\(\frac{z}{z+2}\ge\frac{1}{x+1}+\frac{3}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{3}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)}}\)(1)
từ giả thiết :\(\frac{1}{x+1}\le\frac{z}{z+2}-\frac{3}{y+3}\Leftrightarrow1-\frac{1}{x+1}\ge1-\frac{z}{z+2}+\frac{3}{y+3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}\ge\frac{2}{z+2}+\frac{3}{y+3}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy 1 lần nữa: \(\frac{x}{x+1}\ge\frac{2}{z+2}+\frac{3}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(z+2\right)\left(y+3\right)}}\)(2)
tương tự ta cũng có: \(\frac{y}{y+3}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(z+2\right)\left(x+1\right)}}\)(3),
cả 2 vế các bất đẳng thức (1),(2)và (3) đều dương, nhân vế với vế:
\(\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+3\right)\left(z+2\right)}\ge\frac{8.6}{\left(x+1\right)\left(z+2\right)\left(y+3\right)}\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge48\)
Dấu = xảy ra khi x=2,y=6,z=4 hay a=1,b=5,z=3