Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có:
\(S\ge\frac{x^3}{x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{y^3}{y^2+z^2+\frac{y^2+z^2}{2}}+\frac{z^3}{z^2+x^2+\frac{z^2+x^2}{2}}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{2x^3}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{2y^3}{3\left(y^2+z^2\right)}+\frac{2z^3}{3\left(z^2+x^2\right)}\Rightarrow\frac{3}{2}S\ge P=\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\)
\(\Rightarrow P=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}+y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}+z-\frac{zx^2}{z^2+x^2}\ge\left(x+y+z\right)-\left(\frac{xy^2}{2xy}+\frac{yz^2}{2yz}+\frac{zx^2}{2xz}\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}S\ge\frac{9}{2}\Rightarrow S\ge3\)
Vậy Min S=3 khi x=y=z=3
hok lp 6 000000000000 biet toan lp 9 dau ma lm , tk di , giai cho
\(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+xz}+\frac{1}{1+yz}\ge\frac{9}{3+xy+xz+yz}\)
Lại có :\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\le3\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{3+3}=1.5\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
Cho x,y,z>0 thỏa \(x^2+y^2+z^2< =3\)
Tìm GTNN của P= \(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)
Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:
\(M=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+1+1+xy+yz+xz}\)
\(\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
\(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\ge\frac{9}{3+xy+yz+zx}\)
\(\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{2xy+2yz+2xz}\)
Theo Bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel ta được :
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{\sqrt{2}^2}{2xy+2yz+2xz}\ge\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\ge\frac{1+2\sqrt{2}+2}{1^2}=3+2\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}...\\...\\...\end{cases}}\)
Vậy \(Min_P=3+2\sqrt{2}\)khi và chỉ khi ...
dấu = bạn tự xét nhé :V
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
a) ĐKXĐ: \(x;y>0\)
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{4y}{4xy}+\frac{4x}{4xy}=\frac{xy}{4xy}\)
\(\Rightarrow4x+4y-xy=0\)
\(\Rightarrow x\left(4-y\right)=-4y\)
\(\Rightarrow x=\frac{-4y}{4-y}=\frac{-4\left(y-4\right)-16}{-\left(y-4\right)}\)
\(\Rightarrow x=4-\frac{16}{4-y}\)
Để x nguyên dương =>\(\hept{\begin{cases}\frac{16}{4-y}< 0\\\left(4-y\right)\inƯ\left(16\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow4-y\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)
Tìm nốt y và thay vào tìm ra x
a/ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)
Không mất tính tổng quát giả sử: \(x\ge y\)
\(\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\)
\(\Leftrightarrow0< y\le8\)
\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)làm nốt