Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nguyễn Thành Phát
P = x² + xy + y² - 3x - 3y + 2010 ⇒ 4P = 4(x² + xy + y² - 3x - 3y + 2010)
= 4x² + 4xy + 4y² - 12x - 12y + 8040 = 4x² + 4xy + y² + 3y² - 12x - 6y - 6y + 3 + 9 + 8028
= (4x² + 4xy + y²) - (12x + 6y) + 9 + (3y² - 6y + 3) + 8028
= [ (2x + y)² - 6(2x + y) + 9 ] + 3(y² - 2y + 1) + 8028
= (2x + y - 3)² + 3(y - 1)² + 8028. Do (2x + y - 3)² ≥ 0 và 3(y - 1)² ≥ 0
⇒ (2x + y - 3)² + 3(y - 1)² + 8028 ≥ 8028 ⇒ 4P ≥ 8028 ⇒ P ≥ 2007.
Dấu '=' xảy ra ⇔ 3(y - 1)² = 0 và (2x + y - 3)² = 0
⇔ y - 1 = 0 và 2x + y - 3 = 0
⇔ y = 1 và x = (3 - y)/2 = (3 - 1)/2 = 1
Vậy với x = y = 1 thì GTNN của P là 2007.
1. x≥1 <=> \(\frac{1}{x}\le1\Leftrightarrow\frac{1}{x}+1\le2\Leftrightarrow A\le2\Rightarrow MaxA=2\Leftrightarrow x=1\)
2. Áp dụng bđt cosi cho x>0. ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Leftrightarrow P\ge2\Rightarrow MinP=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)
3: \(A=\frac{x^2+x+4}{x+1}=\frac{\left(x^2+2x+1\right)-\left(x+1\right)+4}{x+1}=x+1-1+\frac{4}{x+1}\)
áp dụng cosi cho 2 số dương ta có: \(x+1+\frac{4}{x+1}\ge2\sqrt{x+1.\frac{4}{x+1}}=2\Leftrightarrow A+1\ge2\Rightarrow A\ge3\Rightarrow MinA=3\Leftrightarrow x+1=\frac{4}{x+1}\Leftrightarrow x=1\)
\(A=\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}\Leftrightarrow A\left(x^2+2x+2\right)=x^2+x+1\)
\(\Leftrightarrow Ax^2+2Ax+2A-x^2-x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)+x\left(2A-1\right)+\left(2A-1\right)=0\)
\(\Delta=\left(2A-1\right)^2-4\left(2A-1\right)\left(A-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(2A-1\right)^2-\left(4A-4\right)\left(2A-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(2A-1\right)\left(2A-1-4A+4\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(2A-1\right)\left(3-2A\right)\ge0\Rightarrow\frac{1}{2}\le A\le\frac{3}{2}\)
Gọi \(A=\frac{x^2}{x^2-2x+2010}\) Đạt GTLN \(\Leftrightarrow\frac{1}{A}=\frac{x^2-2x+2010}{x^2}\) Đạt GTNN
Ta lại có :
\(\frac{1}{A}=\frac{\frac{2009}{2010}x^2+\left(\frac{1}{2010}x^2-2x+2010\right)}{x^2}=\frac{\frac{2009}{2010}x^2+\frac{1}{2010}\left(x^2-2.2010.x+2010^2\right)}{x^2}\)
\(=\frac{2009}{2010}+\frac{\frac{1}{2010}\left(x-2010\right)^2}{x^2}=\frac{2009}{2010}+\frac{2010\left(x-2010\right)^2}{2010x^2}\ge\frac{2009}{2010}\)
Do \(\frac{1}{A}\) có GTNN là \(\frac{2009}{2010}\) nên \(A\) phải có GTLN là \(\frac{2010}{2009}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{2010\left(x-2010\right)^2}{2010x^2}=0\Rightarrow x=2010\)
Vậy GTLN của \(A\) LÀ \(\frac{2009}{2010}\) tại \(x=2010\)