Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cần cách khác thì nhắn cái
Bài này cho thêm điều kiện a, b, c dương
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(E=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\)\(\frac{\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}}{2}\ge\frac{3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)}{6}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
a, x(a - b) + (a - b)
= (x + 1)(a - b)
b, x(a + b) - a - b
= x(a + b) - (a + b)
= (x - 1)(a + b)
c, 10ax - 5ay - 2x + y
= 5a(2x - y) - (2x - y)
= (5a - 1)(2x - y)
d, 2a^2x - 5by - 5a^2y + 2bx
= 2x(a^2 + b) - 5y(b + a^2)
= (2a - 5y)(a^2 + b)
làm tiếp:
2ax2 - bx2 - 2ax +bx +4a-2b
= x2(2a-b) - x(2a-b) +2(2a-b)
=(2a-b)(x2-x+2)
Bài 1.a) Ta có : \(\left(2a+2b\right)\left(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\right)=2.\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)=1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\left(1\right)\)Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a^2+b^2\) ≥ \(2ab\)
⇔ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2 ( 2)
Từ ( 1; 2) ⇒ \(\left(2a+2b\right)\left(\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\right)\) ≥ 2
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(a+b\) ≥ \(2\sqrt{ab}\) ( 1 )
\(b+c\) ≥ \(2\sqrt{bc}\) ( 2 )
\(c+a\) ≥ \(2\sqrt{ac}\) ( 3 )
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta có :
\(2\left(a+b+c\right)\) ≥ \(2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
⇔ \(a+b+c\) ≥ \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)