Question

[Nguyễn Thị Tuyết]

tìm giá trị nhỏ nhất của  A = 2x²+9y²-6xy-6x-12y+2021

Answer 1

[Nguyễn Nam Dương]

Ta có :

\(A=2x^2+9y^2-6xy-6x-12y+2004.\)

\(=\left(x^2-6xy+9y^2\right)+4\left(x-3y\right)+x^2-10x+2004\)

\(=\left(x-3y\right)^2=4\left(x-3y\right)+x^2-10y+25+1975\)

\(=\left(x-3y+2\right)^2+\left(x-5\right)^2+1975>1975\)

\(A_{min}=1975=x=5;y=\frac{7}{3}\)

Vậy

Answer 2

[Darlingg🥝]

A = 2x²+9y²-6xy-6x-12y+2021

<=> A=x^2 + x^2 + 9y^2 - 6xy + 4x - 10x-12y + 1992 + 25 + 4 

<=> A=(x^2 - 6xy + 9y^2) + (4x-12y)+4+x^2-10x+25+1992

<=> A= (x- 3y)^2 + 4(x-3y) + 4 + (x-5)^2 +1992

<=> A = (x-3y+2)^2 + (x-5)^2 +1992

Vì : (x-3y+2)^2 + (x-5)^2  > 0

=>  (x-3y+2)^2 + (x-5)^2 +1992 > 1992

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :  \(\hept{\begin{cases}\left(x-5\right)^2=0\\\left(x-3y+2\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-5=0\\x-3y+2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=5\\5-3y=-2\end{cases}}}\)

\(\hept{\begin{cases}x=5\\-3y=-2-5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\-3y=-7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=\frac{7}{3}\end{cases}}}\)

Vậy Amin = 1992 khi x=5 ; y=7/3