Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a( \(P=\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt{2}}\)(ĐKXĐ : \(1\le x\ne3\))
\(=\frac{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\right)}{\left(x-3\right)}=\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\)
b) \(x=4\left(2-\sqrt{3}\right)\Rightarrow x-1=7-4\sqrt{3}=\left(2-\sqrt{3}\right)^2\)
Thay vào P được : \(P=2-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
c) Với mọi \(x\ge1,x\ne3\)ta luôn có \(\sqrt{x-1}\ge0\Rightarrow\) \(P=\sqrt{x-1}+\sqrt{2}\ge\sqrt{2}\). Dấu "=" xảy ra khi x = 1
Vậy Min P = \(\sqrt{2}\Leftrightarrow x=1\)
2. a) \(Q=\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}\)(ĐKXĐ: \(-2\le x\ne-1\))
\(=\frac{\left(\sqrt{x+2}-1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}=\frac{x+2-1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+2}+1}\)b) \(x=40,25=\frac{161}{4}\Rightarrow x+2=\frac{169}{4}\Rightarrow Q=\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{4}}+1}=\frac{1}{\frac{13}{2}+1}=\frac{2}{15}\)
c) Ta có : \(Max_Q\Leftrightarrow Min_{\left(\sqrt{x+2}+1\right)}\)
Mà : \(\sqrt{x+2}+1\ge1\) với mọi \(-2\le x\ne-1\)
Do đó Max Q = 1 \(\Leftrightarrow x=-2\)
a/ \(P=12\)
b/ \(Q=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)
c/ Ta có:
\(\frac{P}{Q}=\frac{\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{3x}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi x = 3 (thỏa tất cả các điều kiện )
a. Thay x = 3 vào biểu thức P ta được :
\(p=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}=\frac{9+3}{\sqrt{9}-2}=12\)
b, \(Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)
c, Ta có :
\(\frac{P}{Q}=\frac{\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{3x}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{3}\)
Vậy GTNN \(\frac{P}{Q}=2\sqrt{3}\) khi và chỉ khi \(x=3\)
\(A=\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\)với \(x=16\Rightarrow\sqrt{x}=4\)
\(=\frac{2.4+1}{16+4+1}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\)
Vậy với x = 16 thì A nhận giá trị là 3/7
b, Sửa rút gọn biểu thức B nhé
Với \(x\ge0;x\ne1\)
\(B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{1-x}\right):\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-1\right)\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}\pm1\right)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}\pm1\right)}.\frac{\sqrt{x}-1}{1}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
c, Ta có : \(M=\frac{A}{B}\)hay \(M=\frac{\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}}{\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}}\)
\(=\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}.\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\sqrt{x}\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)
Cách của mình dài ,bạn nào có cách khác ngắn gọn hơn thì chỉ cho mình với ạ. Cảm ơn
Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}.\)(*)
Thật vậy: \(ax+by\le\sqrt{\left(ax+by\right)^2}\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)(BĐT bunhiacopxi)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge a^2+b^2+x^2+y^2+2\left(ax+by\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\). BĐT đã được chứng minh
Xét : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=x^2-\left(1+x^2\right)=-1.\)
Theo giả thết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=-\left(y+\sqrt{1+y^2}\right).\)
\(\Leftrightarrow2018x+y=2018\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}.\)(1)
Tương tự:
Xét:\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=y^2-\left(1+y^2\right)=-1\)
Theo giả thiết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=-\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+2018y=-\sqrt{1+x^2}+2018\sqrt{1+y^2}\)(2)
Cộng các vế của (1) và (2) lại ta được
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)\)
Khi đó áp dụng bất đẳng thức (*) ta có;
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1^2+x^2}+\sqrt{1^2+y^2}\right)\ge2017\left(\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(x+y\right)^2}\right)\)
\(\Rightarrow2019\left(x+y\right)\ge2017\sqrt{4+\left(x+y\right)^2}\)
Đặt \(x+y=a>0\)ta có;
\(2019a\ge2017\sqrt{4+a^2}\Leftrightarrow2019^2a^2\ge2017^2a^2+2017^2.4\)
\(\Leftrightarrow\left(2019^2-2017^2\right)a^2\ge\left(2017.2\right)^2\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2.2.2}{2.4036}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2}{2018}\)
\(\Rightarrow a\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}\Rightarrow x+y\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y là \(\frac{2017}{\sqrt{2018}}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{2017}{2\sqrt{2018}}.\)
bn đào thu hà k cần cm bdt phụ đâu đấy là bdt mincopski đc dùng luôn
ĐKXĐ : \(x,y>0\)
a/ \(A=\left(\sqrt{x}+\frac{y-\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):\left(\frac{x}{\sqrt{xy}+y}+\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\left(\frac{x+\sqrt{xy}+y-\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):\left(\frac{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right).\sqrt{x}}-\frac{y\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}.\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}-\frac{\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\right)\)
\(=\frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}:\frac{x^2-x\sqrt{xy}-y\sqrt{xy}-y^2-x^2+y^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}=\frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}:\frac{-\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\)
\(=\frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.\frac{-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{x+y}=\sqrt{y}-\sqrt{x}\)
b/ Ta có ; \(4+2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)
\(\Rightarrow B=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{3}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1\)
Toán này lớp 8 đúng không ta
\(\sqrt{-x^2+2x+2}=\sqrt{3-\left(x^2-2x+1\right)}\)
= \(\sqrt{3-\left(x-1\right)^2}\le\sqrt{3}\)
Đạt được khi x = 1
Câu còn lại làm tương tự