Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)
Nếu m = 1, hệ vô nghiệm
Nếu m ≠ 1, hệ tương đương
\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)
\(x^2-4x-5>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>5\\x< -1\end{matrix}\right.\)
Xét pt: \(x^2-\left(m-1\right)x-m\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-m\right)\le0\) (1)
- Với \(m=-1\) hệ BPT vô nghiệm
- Với \(m>-1\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow-1< x< m\)
Để hệ BPT có nghiệm \(\Leftrightarrow m>5\)
- Với \(m< -1\) \(\Leftrightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow m< x< -1\)
Hệ BPT luôn có nghiệm
Vậy để hệ BPT có nghiệm thì \(\left[{}\begin{matrix}m>5\\m< -1\end{matrix}\right.\)
a/ \(x^2+2x-15< 0\Rightarrow-5< x< 3\)
TH1: \(m=-1\) ko thỏa mãn
TH2: \(m>-1\Rightarrow x\ge\frac{3}{m+1}\)
Để BPT đã cho có nghiệm thì: \(\frac{3}{m+1}< 3\)
\(\Leftrightarrow m+1>1\Rightarrow m>0\)
TH3: \(m< -1\Rightarrow x\le\frac{3}{m+1}\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow\frac{3}{m+1}>-5\)
\(\Leftrightarrow3< -5\left(m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow5m< -8\Rightarrow m< -\frac{8}{5}\)
Vậy để BPT đã cho có nghiệm thì \(\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -\frac{8}{5}\end{matrix}\right.\)
b/ \(x^2-3x-4\le0\Leftrightarrow-1\le x\le4\)
Xét bpt \(\left(m-1\right)x\ge2\)
TH1: \(m=1\) ko thỏa mãn
TH2: \(m>1\Rightarrow x\ge\frac{2}{m-1}\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow4\le\frac{2}{m-1}\)
\(\Rightarrow2\left(m-1\right)\le1\Rightarrow m\le\frac{3}{2}\)
Kết hợp điều kiện \(\Rightarrow1< m\le\frac{3}{2}\)
TH3: \(m< 1\Rightarrow x\le\frac{2}{m-1}\)
Để BPT có nghiệm \(\Rightarrow\frac{2}{m-1}\ge-1\)
\(\Leftrightarrow2\le1-m\Rightarrow m\le-1\)
Vậy để BPT đã cho có nghiệm thì: \(\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\1< m\le\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Xét \(x^2+2x+a=0\) (1) và \(x^2-4x-6a=0\) (2)
Do hệ số của \(x^2\) đều dương nên BPT đã cho có nghiệm khi (1) và (2) đều có nghiệm
Gọi các nghiệm của (1) và (2) lần lượt là \(x_1\le x_2;x_3\le x_4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1-\sqrt{1-a}\\x_2=-1+\sqrt{1-a}\\x_3=2-\sqrt{6a+4}\\x_4=2+\sqrt{6a+4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=1-a\ge0\\\Delta'_2=4+6a\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{2}{3}\le a\le1\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=0\\x_3\le x_{1;2}\le x_4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=1\) thỏa mãn
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_2=0\\x_1\le x_{3;4}\le x_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=-\dfrac{2}{3}\) thỏa mãn
TH3: khi \(-\dfrac{2}{3}< a< 1\) \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) và (2) đều có 2 nghiệm pb
Khi đó \(\left[{}\begin{matrix}D_1=\left[x_1;x_2\right]\\D_2=\left[x_3;x_4\right]\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(D_1\) và \(D_2\) giao nhau tại đúng 1 phần tử
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_4\\x_2=x_3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1-\sqrt{1-a}=2+\sqrt{6a+4}\left(vô-nghiệm\right)\\-1+\sqrt{1-a}=2-\sqrt{6a+4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=0\)
Vậy \(a=\left\{-\dfrac{2}{3};0;1\right\}\)