Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(=sin^2a\left(1+cot^2a\right)=sin^2a\left(1+\frac{cos^2a}{sin^2a}\right)=sin^2a\left(\frac{sin^2a+cos^2a}{sin^2a}\right)=\frac{sin^2a}{sin^2a}=1\)
C A H B
Gỉa sử \(\Delta ABC\)cân tại C, kẻ \(CH⊥AB\)
Ta có VT= \(\cos^2A=\frac{AH^2}{AC^2};\cos^2B=\frac{BH^2}{BC^2}\Rightarrow\cos^2A+\cos^2B=\frac{AH^2}{AC^2}+\frac{BH^2}{BC^2}=2.\frac{AH^2}{AC^2}\)do \(\hept{\begin{cases}AH=BH\\AC=BC\end{cases}}\)
\(\sin^2A=\frac{CH^2}{CA^2};\sin^2B=\frac{CH^2}{CB^2}\Rightarrow\sin^2A+\sin^2B=2.\frac{CH^2}{CA^2}\)
\(\Rightarrow\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{2.\frac{AH^2}{AC^2}}{2.\frac{CH^2}{AC^2}}=\frac{AH^2}{CH^2}\)
Ta có VP =\(\frac{1}{2}\left(\cot^2A+\cot^2B\right)=\frac{1}{2}.\left(\frac{AH^2}{CH^2}+\frac{BH^2}{CH^2}\right)=\frac{1}{2}\left(2.\frac{AH^2}{CH^2}\right)=\frac{AH^2}{CH^2}\)
Ta thấy VT=VP\(\Rightarrow\)giả sử đúng
Vậy ........
a)
\(\Delta EAB\) ~ \(\Delta FAC\) (g - g)
\(\Rightarrow\dfrac{EA}{FA}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
\(\Rightarrow\Delta AEF\) ~ \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE^2}{AB^2}=\cos^2A\)
\(\Rightarrow S_{AEF}=\cos^2A\left(S_{ABC}=1\right)\) (1)
Chứng minh tương tự, ta có: \(S_{BFD}=\cos^2B\) (2) và \(S_{CDE}=\cos^2C\) (3)
Cộng theo vế của (1) , (2) và (3) => đpcm
b)
\(S_{DEF}=S_{ABC}-\left(S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CDE}\right)\text{ }\)
\(=1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\)
\(=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\) (đpcm)
\(S=\frac{cos^2a-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}-cot^2a.cot^2b=\frac{cos^2a-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}-\frac{cos^2a.cos^2b}{sin^2a.sin^2b}\)
\(=\frac{cos^2a-sin^2b-cos^2a.cos^2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{cos^2a-cos^2a.cos^2b-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}\)
\(=\frac{cos^2a\left(1-cos^2b\right)-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{cos^2a.sin^2b-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}\)
\(=\frac{sin^2b\left(cos^2a-1\right)}{sin^2a.sin^2b}=\frac{-sin^2a.sin^2b}{sin^2a.sin^2b}=-1.\)