Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Điều kiện: \(x\ne1\)
a) Xét phương trình: \(\frac{x^2-2mx+3m-2}{x-1}=0\Leftrightarrow x^2-2mx+3m-2=0\)\(\left(x-1\ne0\right)\)
Pt có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m>2\\m< 1\end{cases}}\)
Khi đó \(\hept{\begin{cases}x_1=m-\sqrt{m^2-3m+2}\\x_2=m+\sqrt{m^2-3m+2}\end{cases}}\)
+) \(x_1,x_2\ne1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m-\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\\m+\sqrt{m^2-3m+2}\ne1\end{cases}\Leftrightarrow m\ne1}\)
+) Tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm với trục Ox vuông góc với nhau
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y'\left(x_1\right)=-1\left(1\right)\\y'\left(x_2\right)=1\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(2x_1-2m\right)\left(x_1-1\right)-\left(x_1^2-2mx_1+3m-2\right)}{\left(x_1-1\right)^2}=-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{m-1}{\left(x_1-1\right)^2}=2\Rightarrow m-1=2\left(m-\sqrt{m^2-3m+2}-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[1-2\left(2m-3-2\sqrt{m^2-3m+2}\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{m^2-3m+2}=4m-7\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\ge\frac{7}{4}\\m=\frac{17}{8}\end{cases}}\Leftrightarrow m=\frac{17}{8}\)(t/m m>2 v m<1)
Giải (2) cho ra \(m=1\)(loại). Vậy m cần tìm là \(m=\frac{17}{8}.\)
\(y'=\frac{-1}{\left(x-1\right)^2}\)
a/ Gỉa sử tại \(A\left(a;\frac{2a-1}{a-1}\right)\) đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu
Phương trình d tiếp tuyến:
\(y=\frac{-1}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\frac{2a-1}{a-1}\)
Giao điểm của d với \(x=1\) và \(y=2\) lần lượt có tọa độ \(B\left(1;\frac{2a}{a-1}\right)\) và \(C\left(2a-1;2\right)\)
\(IB=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(\frac{2a}{a-1}-2\right)^2}=\frac{2}{\left|a-1\right|}\)
\(IC=\sqrt{\left(2a-1-1\right)^2+\left(2-2\right)^2}=2\left|a-1\right|\)
\(BC=\sqrt{IB^2+IC^2}=\sqrt{\frac{4}{\left(a-1\right)^2}+4\left(a-1\right)^2}\)
\(\Rightarrow P_{IBC}=IB+IC+BC=\frac{2}{\left|a-1\right|}+2\left|a-1\right|+\sqrt{\frac{4}{\left(a-1\right)^2}+4\left(a-1\right)^2}\)
\(\Rightarrow P_{IBC}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left|a-1\right|}.2\left|a-1\right|}+\sqrt{2\sqrt{\frac{4}{\left(a-1\right)^2}.4\left(a-1\right)^2}}=4+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-1\right)^2=1\Rightarrow a=0\)
Phương trình d: \(y=-x+1\)
b/ Có một cách ứng dụng, đó là tiếp tuyến có khoảng cách đến giao điểm của hai tiệm cận là lớn nhất khi tiếp tuyến đó vuông góc với đường phân giác hai tiệm cận (đường phân giác có cắt đồ thị hàm số)
\(\Rightarrow\) Nếu hàm số đồng biến thì tiếp tuyến này có hệ số góc bằng 1, hàm số nghịch biến thì tiếp tuyến này có hệ số góc bằng -1
Ví dụ trong bài này, hàm số nghịch biến nên ta có ngay tiếp tuyến cần tìm có dạng \(y=-x+b\)
Mặt khác \(y'\left(x_0\right)=-1\Rightarrow\frac{-1}{\left(x_0-1\right)^2}=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=2\end{matrix}\right.\)
Phương trình tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=-x+1\\y=-x+5\end{matrix}\right.\)
// Làm theo kiểu bình thường:
Gọi \(A\left(a;\frac{2a-1}{a-1}\right)\) là điểm mà tại đó tiếp tuyến có tính chất thoả mãn yêu cầu
Phương trình tiếp tuyến d: \(y=\frac{-1}{\left(a-1\right)^2}\left(x-a\right)+\frac{2a-1}{a-1}\)
\(\Leftrightarrow x+\left(a-1\right)^2y-2a^2+2a-1=0\)
Áp dụng công thức khoảng cách:
\(d\left(I;d\right)=\frac{\left|1+2\left(a-1\right)^2-2a^2+2a-1\right|}{\sqrt{1^2+\left(a-1\right)^4}}=\frac{2\left|a-1\right|}{\sqrt{1+\left(a-1\right)^4}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{\left(a-1\right)^2}+\left(a-1\right)^2}}\le\frac{2}{\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{\left(a-1\right)^2}\left(a-1\right)^2}}}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a-1\right)^4=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=2\end{matrix}\right.\)
Phương trình tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=-x+1\\y=-x+5\end{matrix}\right.\)
Rõ ràng cách này dài hơn rất nhiều
Tập xác định: \(D= \mathbb{R}\setminus \{1\}\)
Ta có: \(y'=\dfrac{-1}{(x-1)^2} \ \forall x\in D\)
a) Do \(y_A=3\) và \(A\in (h)\) nên ta có:
\(\dfrac{2x_A-1}{x_A-1}=3 \Leftrightarrow x_A=2 \ \ (t/m)\)
Suy ra tiếp tuyến qua A của (h) là:
\(y-y_A=y'(x_A)(x-x_A)\\ \Leftrightarrow y-3=-1(x-2)\\ \Leftrightarrow x+y-5=0\)
Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến đó với (h) là \(B(x_B,y_B), \ x_B \ne 1\)
Do \(B\in(h)\) nên \(y_B=\dfrac{2x_B-1}{x_B-1}\)
Khi đó ta có:
\(MB=2 \Leftrightarrow \sqrt{(x_B)^2+(\dfrac{2x_B-1}{x_B-1}-1)^2}=2 \Leftrightarrow x^2_B+\dfrac{x^2_B}{(x_B-1)^2}=4 \\ \Leftrightarrow x^2_B(x_B-1)^2+x^2_B=4(x_B-1)^2 \Leftrightarrow x^4_B-2x^3_B-2x^2_B+8x_B-4=0\\ \Leftrightarrow (x^2_B-x_B+1)^2=5(x_B-1)^2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x^2_B-x_B+1=\sqrt{5}(x_B-1)\\ x^2_B-x_B+1=-\sqrt{5}(x_B-1) \end{array}{} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x^2_B-(\sqrt{5}+1)x_B+\sqrt{5}+1=0\ (vô nghiệm)\\ x^2_B+(\sqrt{5}-1)x_B+1-\sqrt{5}=0 \end{array}{} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x_B=\dfrac{1-\sqrt{5}+\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}\\ x_B=\dfrac{1-\sqrt{5}-\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2} \end{array}{} \right.\\ \)Từ đó với cách tìm tiếp tuyến tương tự như câu (a) em sẽ viết được tiếp tuyến!
Câu 2:
\(f'\left(x\right)=\frac{-3}{\left(2x-1\right)^2}\)
a/ \(x_0=-1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x_0\right)=-\frac{1}{3}\\f\left(x_0\right)=0\end{matrix}\right.\)
Pttt: \(y=-\frac{1}{3}\left(x+1\right)=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\)
b/ \(y_0=1\Rightarrow\frac{x_0+1}{2x_0-1}=1\Leftrightarrow x_0+1=2x_0-1\Rightarrow x_0=2\)
\(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=-\frac{1}{3}\)
Pttt: \(y=-\frac{1}{3}\left(x-2\right)+1\)
c/ \(x_0=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x_0\right)=-3\\y_0=-1\end{matrix}\right.\)
Pttt: \(y=-3x-1\)
d/ \(6x+2y-1=0\Leftrightarrow y=-3x+\frac{1}{2}\)
Tiếp tuyến song song d \(\Rightarrow\) có hệ số góc bằng -3
\(\Rightarrow\frac{-3}{\left(2x_0-1\right)^2}=-3\Rightarrow\left(2x_0-1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\Rightarrow y_0=-1\\x_0=1\Rightarrow y_0=2\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}y=-3x-1\\y=-3\left(x-1\right)+2\end{matrix}\right.\)
Làm câu 1,3 trước, câu 2 hơi dài tối rảnh làm sau:
1/ \(\lim\limits\frac{n^2+2n+1}{2n^2-1}=lim\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{2\sqrt{x+1}-x^2+2x+2}{x}=\frac{2-0+0+2}{0}=\frac{4}{0}=+\infty\)
Chắc bạn ghi nhầm đề, câu này biểu thức tử số là \(...-x^2+2x-2\) thì hợp lý hơn
3/ \(y'=2sin2x.\left(sin2x\right)'=4sin2x.cos2x=2sin4x\)
b/ \(y'=4x^3-4x\)
c/ \(y'=\frac{3\left(x+2\right)-1\left(3x-1\right)}{\left(x+2\right)^2}=\frac{7}{\left(x+2\right)^2}\)
d/ \(y'=10\left(x^2+x+1\right)^9\left(x^2+x+1\right)'=10\left(x^2+x+1\right)^9.\left(2x+1\right)\)
e/ \(y'=\frac{\left(2x^2-x+3\right)'}{2\sqrt{2x^2-x+3}}=\frac{4x-1}{2\sqrt{2x^2-x+3}}\)
em cảm ơn nhiều ạ
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm $A$ là $(5,a)$
PTTT tại tiếp điểm $(x_0,y_0)$ là:
(d): $y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0=\frac{-4}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0-1}$
$A\in (d)$ nên:
$a=\frac{-4}{(x_0-1)^2}(5-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0-1}$
$\Leftrightarrow x_0^2(a-1)-2x_0(a+3)+(a+23)=0$
Xét PT $x^2(a-1)-2x(a+3)+(a+23)=0(*)$
Để từ $A$ kẻ được 2 tiếp tuyến thì $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1$
Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a-1\neq 0\\ \Delta'=(a+3)^2-(a+23)(a-1)>0\\ a-1-2(a+3)+a+23\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\neq 1\\ a<2\end{matrix}\right.(**)\)
Hoành độ 2 tiếp điểm $M,N$ là nghiệm của $(*)$. Theo định lý Viet:
\(\left\{\begin{matrix} x_M+x_N=\frac{2a+6}{a-1}\\ x_Mx_N=\frac{a+23}{a-1}\end{matrix}\right.\)
$\overrightarrow{BM}=(x_M-1,y_M-3); \overrightarrow{BN}=(x_N-1,y_N-3)$
Để $B,M,N$ thẳng hàng thì:
\(\frac{x_M-1}{x_N-1}=\frac{y_M-3}{y_N-3}=\frac{\frac{x_M+3}{x_M-1}-3}{\frac{x_N+3}{x_N-1}-3}=\frac{(3-x_M)(x_N-1)}{(x_M-1)(3-x_N)}\)
\(\Leftrightarrow 3x_M^2-x_M^2x_N-6x_M-x_N=3x_N^2-x_Mx_N^2-6x_N-x_M\)
\(\Leftrightarrow (x_M-x_N)[3(x_M+x_N)-x_Mx_N-5)=0\)
\(\Leftrightarrow 3(x_M+x_N)-x_Mx_N-5=0\) (do $x_M\neq x_N$)
\(\Leftrightarrow \frac{6(a+3)}{a-1}-\frac{a+23}{a-1}-5=0\) (luôn đúng)
Vậy mọi giá trị $a$ thỏa mãn $(**)$ là đáp án.