Question

[Nguyễn Vũ Minh Hiếu]

tìm đa thức bậc 2 biết f(x)-f(x-1)=x

Answer 1

[Nguyễn phương anh]

Giả sử f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c (do đề bài cho là đa thức bậc hai)
Suy ra

f(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+bf(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+b

Mà f(x)−f(x−1)=xf(x)−f(x−1)=x

⇒2ax+a+b=x⇒2ax+a+b=x

Do đó a+b=0a+b=0 và a=1/2a=1/2 từ đó ta suy ra a=1/2;b=−1/2a=1/2;b=−1/2

Do đó f(x)=x22−x2+cf(x)=x22−x2+c

f(n)=1+2+3+...+nf(n)=1+2+3+...+n

Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
f(1)−f(0)=1f(1)−f(0)=1

f(2)−f(1)=2f(2)−f(1)=2

....

f(n)−f(n−1)=nf(n)−f(n−1)=n

Do đó

1+2+...+n=f(1)−f(0)+f(2)−f(1)+...+f(n)−f(n−1)=f(n)−f(0)=n22−n2=n(n−1)21+2+...+n=f(1)−f(0)+f(2)−f(1)+...+f(n)−f(n−1)=f(n)−f(0)=n22−n2=n(n−1)2

Answer 2

[Nguyễn Vũ Minh Hiếu]

chép mạng hay tự làm v @@