Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
ĐKXĐ: \(x,y\neq 1\)
Kết hợp với \(x,y\in\mathbb{Z}, xy=1\) suy ra \(x=y=-1\)
Thay vào điều kiện \(\frac{x+y-2}{4}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-1}\) thấy thỏa mãn
Vậy \(x=y=-1\)
Cô Huyền giải nhầm rồi.
\(\left(x+1\right)^4-\left(y+1\right)^2=y^2-x^4\)
\(\Leftrightarrow y^2+\left(y+1\right)^2=x^4+\left(x+1\right)^4\)
\(\Leftrightarrow y^2+y=x^4+2x^3+3x^2+2x\)
\(\Leftrightarrow y^2+y+1=\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1=\left(x^2+x+1\right)^2\)là số chính phương
Xét \(y\ge0\)
\(\Rightarrow y^2< y^2+y+1\le\left(y+1\right)^2\)
\(\Rightarrow y^2+y+1=\left(y+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow y=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)
Tương tự cho trường hợp còn lại
\(\left(x+1\right)^4-\left(y+1\right)^2=y^2-x^4\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^2+1-y^2-2y-1=y^2-x^4\)\(\Leftrightarrow2x^4+2x^2-2y^2-2y=0\)
\(\Leftrightarrow x^4+x^2-y^2-y=0\Leftrightarrow\left(x^4-y^2\right)+\left(x^2-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)\left(x^2+y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-y=0\\x^2+y+1=0\end{cases}}\)
TH1: y = x2 . Vậy ta có cặp (x;y) thỏa mãn là (k; k2) (k là số nguyên)
TH2: y = - x2 - 1. Vậy ta có cặp (x;y) thỏa mãn là (k; - k2 - 1) (k là số nguyên)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$
Cộng 2 BĐT trên lại:
$P\geq 16+8=24$
Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy})(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1+2)^2=16$
$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}\geq \frac{16}{(x+y)^2}=16$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq 8$
Cộng 2 BĐT trên lại:
$P\geq 16+8=24$
Vậy $P_{\min}=24$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
(x2 - 2 +\(\frac{1}{x^2}\)) + (y2 - 2 + \(\frac{1}{y^2}\)) = 0
<=> ( x - \(\frac{1}{x}\))2 + (y - \(\frac{1}{y}\))2 = 0
<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{x}\\y=\frac{1}{y}\end{cases}}\)<=> (x, y) = (1, 1;1,-1;-1,1;-1,-1)
ĐKXĐ: \(x;y\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{y^2}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{x}=0\\y-\dfrac{1}{y}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\y^2=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(\pm1;\pm1\right)\)
tại sao lại lấy \(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\)\(+y^2+\dfrac{1}{x^2}-2\) ạ?