Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:2x+3y+z=1.Tìm GTNN của biểu thức P=\(x^3+y^3+z^3\)
Lời giải:
Áp dụng PP tìm điểm rơi và BĐT Cauchy cho các số dương:
\(x^3+\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3\geq 3x\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^2\)
\(y^3+\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3\geq 3y\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^2\)
\(z^3+\left(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3+\left(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^3\geq 3z\left(\frac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1}\right)^2\)
Cộng theo vế:
\(P+\frac{2}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\geq \frac{3}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}(2x+3y+z)=\frac{3}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{1}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{1}{(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}+1)^2}\)
Ta có: \(\left(2x-y\right)^2\ge0\); \(\left(y-2\right)^2\ge0\); \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}=\left|x+y+z\right|\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\y-2=0\\x+y+z=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=?\\y=?\\z=?\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải :D