Question

[Minh Triều]

Tìm các số tự nhiên x,y khác 0 biết 4x+1 chia hết cho y và 4y+1 chia hết cho x

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Nhận xét : Vai trò của x; y như nhau nên giả sử x \(\le\) y

4x + 1 chia hết cho y => 4x + 1 = ky ( k \(\in\) N*)

Có  4x + 1 \(\le\) 4y + 1  =>  k.y \(\le\) 4y + 1 . => (k - 1).y + y \(\le\) 4y + 1

Vì y là số tự nhiên khác 0 => 1 \(\le\) y => (k-1).y + 1 \(\le\) (k-1)y + y \(\le\) 4y + 1

=> k - 1 \(\le\) 4 => k - 1 = 0; 1;2;3;4 => k = 1;2;3;4;5

+) Với k = 1 => 4x + 1 = y  => 4y + 1 = 4.(4x +1) + 1 = 16x + 5 chia hết cho x => 5 chia hết cho x => x = 1 hoặc x = 5

=> y = 5 hoặc  y = 21

+) Với k = 2 => 4x + 1 = 2y => 4y + 1 = 8x + 3 chia hết cho x => 3 chia hết cho x => x =1 hoặc x = 3 

=> y = 5/2 (Loại) hoặc y = 13/2 (Loại)

+) Với k = 3 => 4x + 1 = 3y => 4y + 1 = \(\frac{16x+7}{3}\) chia hết cho x => 16x + 7 = 3m x ( m là số tự nhiên)

=> (3m - 16)x = 7 => x là ước của 7 => x = 7 hoặc x = 1 => y = 29/3 hoặc y = 5/3 (Loại)

+) k  = 4 => 4x + 1 = 4y Loại Vì 4x +1 không chia hết cho 4 mà 4y chia hết cho 4

+) k = 5 => 4x + 1 = 5y => 4y + 1 = \(\frac{16x+9}{5}\) chia hết cho x => 16x + 9 = 5ny (n là số tự nhiên)

=> (5n = 16)x = 9 => x là ước của 9 => x = 1; 3; 9 => y = 1; hoặc y = 13/5 (loại); y = 37/5 (loại)

Từ các trường hợp trên các cặp số (x;y) thỏa mãn là: (1;1); (1;5); (5;21); hoăc (5;1); (21;5)

Answer 2

[Phạm Ngọc Thạch]

=> (4x+1)(4y+1) chia hết hco xy

=> 16xy+4x+4y+1 chia hết cho xy

Vì 16xy chia hết cho xy nên 4x+4y+1 chia hết cho xy

=> 4xy+4y²+y chia hết cho xy

=> y(4y+1) chia hết cho xy

=> 4y+1 chia hết cho x

Thế y=0,1,2,3,... ta được x