Question

[Đức Tú]

tìm các số tự nhiên n sao cho n+8 và n+1 là các số chính phương

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Huy Toàn]

Vì \(n+8\) và \(n+1\) là 2 SCP

nên đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n+8=x^2\\n+1=y^2\end{matrix}\right.\) ;\(a;b\in N\) (1)

Trừ từng vế ta được:

\(x^2-y^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=7\)

Vì \(x;y\in N\) nên \(x-y< x+y\)

\(\rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x+y=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1) ta được:\(\left\{{}\begin{matrix}n+8=4^2\\n+1=3^2\end{matrix}\right.\)

                                  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=8\\n=8\end{matrix}\right.\)

Vậy \(n=8\) thì \(n+8;n+1\) là 2 SCP