Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không mất tính tổng quát , giả sử m < n < p < q
Nếu m \(\ge\)3 thì : \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{mnpq}\le\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{3.5.7}< 1\)
Suy ra m = 2
Khi đó : \(\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{2npq}=\frac{1}{2}\) ( 1 )
Nếu n \(\ge\)5 thì \(\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{2npq}\le\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{2.5.7.11}< \frac{1}{2}\)
Vậy n = 3 và ( 1 ) trở thành : \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{6pq}=\frac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow\left(p-6\right)\left(q-6\right)=37\Rightarrow p=7;q=43\)
Vậy (m,n,p,q) = .( 2,3,7,43 ) và các hoán vị của nó
Vì p là số nguyên tố lẻ nên p>1.ĐKXĐ m,n khác 0.
Ta có: \(\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p}=\left(\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}\right)\Leftrightarrow\)\(\left(m^2+n^2\right)p=m^2n^2\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2n^2-m^2p-n^2p+p^2=p^2\Leftrightarrow\left(m^2-p\right)\left(n^2-p\right)=p^2\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) ta được m hoặc n chia hết p.Giả sử m chia hết cho p. Đặt m2=a2p2 ( a khác 0) nên (2) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2p^2-p\right)\left(n^2-p\right)=p^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2p-1\right)\left(n^2-p\right)=p\)
Vì a khác 0 nên a2>0 a2p chia hết p . Vì p>2 nên a2p-1 không chia hết cho p.
Vậy n2-p chia hết cho p nên n chia hết cho p . Đặt n=bp.
Dựa pt đầu ta có \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2p^2}+\frac{1}{b^2p^2}\Leftrightarrow1=\frac{1}{a^2p}+\frac{1}{b^2p}\)
nên a2p=2 và b2p=2 nên vô lý
Ta có
\(\frac{1+m^2}{1+n^2}=1+m^2-\frac{n^2\left(1+m^2\right)}{1+n^2}\le1+m^2-\frac{n^2\left(1+m^2\right)}{2}\)
Tương tự ta có
\(\frac{1+n^2}{1+p^2}\le1+n^2-\frac{p^2\left(1+n^2\right)}{2}\)
\(\frac{1+p^2}{1+m^2}\le1+p^2-\frac{m^2\left(1+p^2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow A\le3+m^2+n^2+p^2-\frac{n^2\left(1+m^2\right)+p^2\left(1+n^2\right)+m^2\left(1+p^2\right)}{2}\)
\(=\frac{m^2+n^2+p^2-\left(m^2N^2+n^2p^2+p^2m^2\right)}{2}+3\)
\(\le\frac{m^2+n^2+p^2+2\left(mn+np+pm\right)}{2}+3\)
\(=\frac{\left(m+n+p\right)^2}{2}+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}\)
\(a,b,c\in\left[0,1\right]\) do đó \(a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)
Ta có: \(T=\text{∑}\left(a^2+1-\frac{b^2a^2+b^2}{1+b^2}\right)\)\(\le\text{∑}a^2+3-\text{∑}\frac{b^2a^2+b^2}{2}\)
\(=3+\frac{\text{∑}a^2-\text{∑}a^2b^2}{2}\le3+\frac{1}{2}\le\frac{7}{2}\)