Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2^x+2^y=72\)
\(2^x+2^y=64+8\)
\(2^x+2^y=2^6+2^3\)
\(\Rightarrow x=6;y=3\)
Giả sử x>y, ta có:
2x + 2y = 72
=> 2y (1 + 2x-y) = 23. 32
Vì 1 + 2x-y là số lẻ nên 1 + 2x-y = 1;3;9
- Với 1 + 2x-y =1 thì 2y = 9 (loại)
- Với 1 + 2x-y = 3 thì 2y = 24 (loại)
- Với 1 + 2x-y = 9 thì 2y =1 => y = 0, 1 + 2x-y = 9 => 2x = 8 => x = 3
Vậy x = 3 và y = 0
Chúng ta cần chứng minh các điều kiện sau cho các số nguyên dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\) và \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Bài toán phần a)
Chứng minh rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Giải: Ta đã biết rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), tức là:
\(\frac{x^{3} + 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .\)
Ta có thể xem xét \(x^{3} + 1\) dưới dạng nhân tử:
\(x^{3} + 1 = \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .\)
Ta cần chứng minh rằng \(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right)\) chia hết cho \(y + 1\). Điều này có nghĩa là \(y + 1\) là ước của \(x^{3} + 1\), hay là:
\(y + 1 \mid \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .\)
Giả sử rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), thì sẽ có một số \(k\) sao cho:
\(x^{3} + 1 = k \left(\right. y + 1 \left.\right) ,\)
tức là \(k\) là một số nguyên. Như vậy, \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), và bài toán đã được chứng minh cho phần a.
Bài toán phần b)
Chứng minh rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Giải: Ta cần chứng minh rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), tức là:
\(\frac{x^{3} y^{3} - 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .\)
Ta có thể biến đổi \(x^{3} y^{3} - 1\) theo công thức phân tích đa thức:
\(x^{3} y^{3} - 1 = \left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right) .\)
Ta cần chứng minh rằng \(\left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right)\) chia hết cho \(y + 1\).
Giả sử rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), ta có:
\(x^{3} y^{3} - 1 = m \left(\right. y + 1 \left.\right) ,\)
với một số nguyên \(m\), do đó \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), hoàn thành bài toán phần b.
Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được rằng:
- a) \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\),
- b) \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Câu hỏi của Nguyen Thao An - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Lời giải:
Nếu $x=y$ thì \(72=2^x+2^y=2^x+2^x=2^{x+1}\)
\(\Rightarrow x+1\not\in \mathbb{Z}^+\) (vô lý). Do đó $x\neq y$
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x>y\)
\(2^x+2^y=72\)
\(\Leftrightarrow 2^y(2^{x-y}+1)=72=2^3.3^2\)
Vì $x-y>0$ nên $2^{x-y}$ chẵn, suy ra $2^{x-y}+1$ lẻ hay $2^{x-y}+1$ không chứa ước $2$
Từ đây ta suy ra \(\left\{\begin{matrix} 2^y=2^3\\ 2^{x-y}+1=3^2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=3\\ x=6\end{matrix}\right.\)
Vậy \((x,y)=(6,3); (3,6)\)