Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sai đề nhá, đáng lẽ \(0\le x,y,z\le1\)
Ta dễ có:
\(1+y+zx\le x^2+xy+xz\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}\ge\frac{x}{x^2+xy+xz}=\frac{1}{x+y+z}\)
Tương tự:
\(\frac{y}{1+z+xy}\ge\frac{1}{x+y+z};\frac{z}{1+z+yz}\ge\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+z+yz}\ge\frac{3}{x+y+z}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
Ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y=x+y-2z+2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
Theo giả thiết, ta có:
theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\)\(\Rightarrow\frac{x-z}{zx}=\frac{1}{y}\Rightarrow x-z=\frac{zx}{y}\)
Tương tự, ta có: \(y-z=\frac{zy}{x}\)
Do đó: \(2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=2\sqrt{\frac{zx}{y}.\frac{zy}{x}}=2z\) (1)
ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)(2)
Thay (2) vào (1) ta thấy (2) luôn đúng
Suy ra ĐPCM
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
Ta có x√(1-y2)<= (x2 + 1 - y2)/2
y√(1-z2)<= (y2 +1 - z2)/2
z√(1- x2)<= (z2 + 1 - x2)/2
=>x√(1-y2) +y√(1-z2)z+√(1- x2)<=3/2
Đấu đẳng thức xảy ra khi: x2 = 1 - y2
y2 = 1-z2
z2 = 1- x2
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh
lf you undẻstand then make friends offline (nếu hiểu thì kb mk nhé)