Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta cần tìm tất cả các cặp số hữu tỉ \(\left(\right. x , y \left.\right)\) sao cho:
- \(x + y \in \mathbb{Z}\)
- \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \in \mathbb{Z}\)
🔍 Bước 1: Gọi \(x , y \in \mathbb{Q}\) (số hữu tỉ), đặt:
- \(x + y = a \in \mathbb{Z}\)
- \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y} = \frac{a}{x y} = b \in \mathbb{Z}\)
Từ đó:
\(\frac{a}{x y} = b \Rightarrow x y = \frac{a}{b}\)
Vậy ta có hệ:
\(\left{\right. x + y = a \in \mathbb{Z} \\ x y = \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\)
🔍 Bước 2: Giải hệ bằng định lý Vi-ét đảo
Từ tổng và tích \(x + y = a\), \(x y = \frac{a}{b}\), ta xem \(x , y\) là nghiệm của phương trình bậc 2:
\(t^{2} - a t + \frac{a}{b} = 0\)
Phương trình này có nghiệm hữu tỉ khi:
- Hệ số \(a \in \mathbb{Z}\), \(\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\)
- Điều kiện cần là phân biệt và hữu tỉ, tức là:
\(\Delta = a^{2} - 4 \cdot \frac{a}{b} = a^{2} - \frac{4 a}{b} \in \mathbb{Q}\)
→ Ta muốn nghiệm là hữu tỉ, nên căn thức phải là số hữu tỉ, tức:
\(a^{2} - \frac{4 a}{b} \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{h}ữ\text{u}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ\)
Để đơn giản, ta chọn các giá trị nhỏ để tìm cặp cụ thể.
🔍 Bước 3: Thử giá trị cụ thể
Ví dụ: chọn \(a = 2\), \(b = 1\)
→ \(x + y = 2\), \(x y = \frac{2}{1} = 2\)
Giải phương trình:
\(t^{2} - 2 t + 2 = 0 \Rightarrow \Delta = 4 - 8 = - 4 \Rightarrow \text{v} \hat{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{nghi}ệ\text{m}\&\text{nbsp};(\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{h}ữ\text{u}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ)\)
Thử \(a = 2\), \(b = 2 \Rightarrow x y = 1\)
Phương trình: \(t^{2} - 2 t + 1 = 0 \Rightarrow \left(\right. t - 1 \left.\right)^{2} = 0 \Rightarrow x = y = 1\)
✅ Thỏa mãn:
- \(x + y = 2 \in \mathbb{Z}\)
- \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 + 1 = 2 \in \mathbb{Z}\)
Vậy \(\left(\right. 1 , 1 \left.\right)\) là 1 cặp nghiệm.
✅ Kết luận tổng quát:
Với \(x , y \in \mathbb{Q}\), thỏa mãn:
\(x + y = a \in \mathbb{Z} , x y = \frac{a}{b} \&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; b \in \mathbb{Z}\)
Thì \(x , y\) là nghiệm của phương trình:
\(t^{2} - a t + \frac{a}{b} = 0\)
Muốn \(x , y \in \mathbb{Q}\) thì phương trình trên phải có nghiệm hữu tỉ. Do đó:
✅ Tập hợp nghiệm là các cặp số hữu tỉ \(\left(\right. x , y \left.\right)\) sao cho:
- \(x + y \in \mathbb{Z}\)
- \(x y \in \mathbb{Q}\)
- Và \(x , y\) là nghiệm hữu tỉ của phương trình \(t^{2} - \left(\right. x + y \left.\right) t + x y = 0\)
a) \(x=\frac{\left(x+y\right)+\left(x-y\right)}{2};y=\frac{\left(x+y\right)-\left(x-y\right)}{2}\)
Tổng, hiệu của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ . Thương của 1 số hữu tỉ với 1 số hữu tỉ ( khác 0 ) cũng là 1 số hữu tỉ.
Vậy x,y đều là các số hữu tỉ, không thể là số vô tỉ.
b) x và y có thể là số vô tỉ.
Ví dụ : x = \(-\sqrt{2}\); \(y=\sqrt{2}\)\(\Rightarrow x+y=-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-1\)
Do x+y thuộc z=> x và y đều là số nguyên
Mà 1/x + 1/y thuộc Z thì x = y= 1 hoặc x=y=-1
\(\text{Có thể x=y=\pm2 nữa nhé}\)