Question

[myyyy]

tìm các giá trị của m để hàm số sau

a) \(y=-x^3+\left(m+2\right)x^2-3x\) nghịch biến trên R

b) \(y=x^3-3x^2+\left(1-m\right)x\) đồng biến trên R

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: \(y=-x^3+\left(m+2\right)x^2-3x\)

=>\(y'=-3x^2+2\left(m+2\right)x-3\)

=>\(y'=-3x^2+\left(2m+4\right)\cdot x-3\)

Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m+4\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\left(-3\right)< =0\\-3< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(4m^2+16m+16-4\cdot9< =0\)

=>\(4m^2+16m-20< =0\)

=>\(m^2+4m-5< =0\)

=>\(\left(m+5\right)\left(m-1\right)< =0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+5>=0\\m-1< =0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=-5\\m< =1\end{matrix}\right.\)

=>-5<=m<=1

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+5< =0\\m-1>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=1\\m< =-5\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\varnothing\)

b: \(y=x^3-3x^2+\left(1-m\right)x\)

=>\(y'=3x^2-3\cdot2x+1-m\)

=>\(y'=3x^2-6x+1-m\)

Để hàm số đồng biến trên R thì \(y'>=0\forall x\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3>0\\\left(-6\right)^2-4\cdot3\left(1-m\right)>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(36-12\left(1-m\right)>=0\)

=>\(36-12+12m>=0\)

=>12m+24>=0

=>m+2>=0

=>m>=-2