Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
from giả thiết => x+y+z=xyz
biến đổi như sau:\(\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
=\(\sqrt{\dfrac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)\)
\(a)\)\(x+xy+y=-6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)
Lập bảng xét TH ra là xong
\(b)\) CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Xin thêm 1 slot đi hok về làm cho -,-
\(b)\) CM : \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) ( bđt Cauchy-Schawarz dạng Engel )
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+2017\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}+2017\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}+2017=\frac{\left(2+\frac{4}{2}\right)^2}{2}+2017=2025\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
Bài này còn có cách khác là sử dụng tính chất tổng 2 phân số nghịch đảo nhau nhá :))
Chúc bạn học tốt ~
1) đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{y-4}=b\left(b\ge0;\right)\)
M = \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+4}\); a2 +1 \(\ge2a;b^2+4\ge4b\)=> M \(\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{4b}=\frac{3}{4}\)
M đạt GTLN khi a=1, b=2 hay x=2; y= 8
2) <=> (x-y)2 + (x+2)2 =8 => (x+2)2\(\le8< =>\left|x+2\right|\le\sqrt{8}\approx2< =>-2\le x+2\le2< =>\)\(-4\le x\le0\)
x=-4 => (y+4)2 =4 <=> y = -2;y = -6
x=-3 => (y+3)2 = 7 (vô nghiệm); x=-1 => (y+1)2 =7 (vô nghiệm)
x=0 => y2 = 4 => y =2; =-2
vậy có các nghiệm (x;y) = (-4;-2); (-4;-6); (0;-2); (0;2)
3) \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\frac{x}{z}\left(a^2+b^2\ge2ab\right)\); tương tự với các số còn lại ta được điều phải chứng minh
3) sửa lại
áp dụng a2+b2+c2 \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{3}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)(vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3\))
dấu '=' khi x=y=z
12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1
13. Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)( BĐT cosi)
=> \(1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
=> \(a+b+c\ge6\)
Ta có \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
=> \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự \(\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\),,\(\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a\)
Cộng 3 BT trên ta có
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)
Khi đó \(2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...\)
=> \(2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....\)
Xét \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
<=> \(3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)(luôn đúng )
=> \(2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4\)
=> \(P\ge2\)
Vậy \(MinP=2\)khi a=b=c=2
Lưu ý : Chỗ .... là tương tự
4) Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky
\(\Rightarrow\left(x^4+yz\right)\left(1+1\right)\ge\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{x^4+yz}\le\dfrac{2x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2}{y^4+xz}\le\dfrac{2y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}\\\dfrac{z^2}{z^4+xy}\le\dfrac{2z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le2\left[\dfrac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\)
Chứng minh rằng \(2\left[\dfrac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\le\dfrac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow x^2+\sqrt{yz}\ge2\sqrt{x^2\sqrt{yz}}=2x\sqrt{\sqrt{yz}}\)
\(\Rightarrow\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2\ge4x^2\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}\le\dfrac{x^2}{4x^2\sqrt{yz}}=\dfrac{1}{4\sqrt{yz}}\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}\le\dfrac{1}{4\sqrt{xz}}\\\dfrac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\le\dfrac{1}{4\sqrt{xy}}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\le3\)
Theo đề bài ta có \(x^2+y^2+z^2=3xyz\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{xy}=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\le3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\le\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{xy}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\le\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{2}\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\le\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}}{2}\\\dfrac{1}{\sqrt{yz}}\le\dfrac{\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{z^2}}=\dfrac{2}{z}\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{xy}\ge\dfrac{2}{x}\\\dfrac{x}{zy}+\dfrac{z}{xy}\ge\dfrac{2}{y}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{xy}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{xy}\ge\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\le3\) ( đpcm )
Vậy \(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow2\left[\dfrac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\le\dfrac{3}{2}\)
Mà \(VT\le2\left[\dfrac{x^2}{\left(x^2+\sqrt{yz}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(y^2+\sqrt{xz}\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(z^2+\sqrt{xy}\right)}\right]\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
3. Ta có :\(x^2\left(1-2x\right)=x.x.\left(1-2x\right)\le\dfrac{\left(x+x+1-2x\right)^3}{27}=\dfrac{1}{27}\)(bđt cô si)
Dấu "=" xảy ra khi :x=1-2x\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\)
Vậy max của Qlaf 1/27 khi x=1/3
c) Có \(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=-1+\frac{x^2+ax+b+1}{x^2+1}\);
\(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=4-\frac{4x^2-ax-b+4}{x^2+1}\)
Để Min P = 1 và Max P = 4 thì
\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+b+1=\left(x+c\right)^2\\4x^2-ax-b+4=\left(2x+d\right)^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\left(a-2c\right)+\left(b+1-c^2\right)=0\left(1\right)\\x\left(-a-4d\right)+\left(-b+4-d^2\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=2c\\b=c^2-1\end{cases}}\)(3)
(2) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=-4d\\b=4-d^2\end{cases}}\)(4)
Từ (3) (4) => d = 1 ; c = -2 ; b = 3 ; a = -4
Vậy \(P=\frac{-4x+3}{x^2+1}\)
ĐK \(x\ge y\)
Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{x-y}=b\left(a;b\ge0\right)\)
HPT <=> \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4=82\\a-2b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2b+1\right)^4+b^4=82\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4+32b^3+24b^2+8b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4-17b^3+49^3-49b^2+73b^2-73b+81b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(b-1\right)\left(17b^3+49b^2+73b+81\right)=0\left(1\right)\\a=2b+1\end{cases}}\)
Giải (1) ; kết hợp điều kiện => b = 1
=> Hệ lúc đó trở thành \(\hept{\begin{cases}b=1\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}=3\\\sqrt{x-y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=9\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=10\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)
Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4)
\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}=4\left(1\right)\)
Theo Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left(x^2;\dfrac{1}{x^2}\right);\left(x^2;\dfrac{y^2}{4}\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2.\dfrac{1}{2}xy\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge xy\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2+xy\)
\(\Leftrightarrow4\ge2+xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le2\left(x;y\inℤ\right)\)
\(\Leftrightarrow Max\left(xy\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(xy\in\left\{-1;1;-2;2\right\}\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-2\right);\left(1;2\right);\left(-2;-1\right);\left(2;1\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài
hình như dấu "=" xảy ra khi x^2 = 1/x^2 với x^2 = y^2/4 mà bạn nhỉ