Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(M=a^4+4b^4\)
Ta có : \(M=a^4+4b^4=\left(a^4+2.a^2.2b^2+4b^4\right)-4a^2b^2=\left(a^2+2b^2\right)^2-\left(2ab\right)^2\)
\(=\left(a^2-2ab+2b^2\right)\left(a^2+2ab+2b^2\right)\)
Vì M là số nguyên tố nên chỉ có các trường hợp :
1. \(\hept{\begin{cases}a^2-2ab+2b^2=1\\a^2+2ab+b^2=a^4+4b^4\end{cases}}\)
2. \(\hept{\begin{cases}a^2-2ab+2b^2=a^4+4b^4\\a^2+2ab+2b^2=1\end{cases}}\)
Bạn hãy giải từng trường hợp.
Bạn tham khảo nhé!!!!
a3+b3=3ab−1
⇔a3+b3−3ab+1=0⇔a3+b3−3ab+1=0
⇔(a+b)3−3ab(a+b)−3ab+1=0
⇔(a+b)3+1−3ab(a+b+1)=0
⇔(a+b+1)[(a+b)2−(a+b)+1]−3ab(a+b+1)=0
⇔(a+b+1)(a2+b2+1−ab−a−b)=0
Vì a,b>0a,b>0 nên a+b+1≠0
Do đó:
a2+b2+1−a−b−ab=0
⇔\(\frac{\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2}{2}\)=0
⇔a=b=1
Do đó: a2018+b2019=1+1=2
Ta có đpcm.
Vì \(p\)là số nguyên tổ nên tổng các ước nguyên dương của \(p^4\)là \(1+p+p^2+p^3+p^4\).
Đặt \(p^4+p^3+p^2+p+1=n^2\)
\(\Leftrightarrow4p^4+4p^3+4p^2+4p+1=4n^2\)
Ta có:
\(4p^4+4p^3+4p^2+4p+4>4p^4+4p^3+p^2=\left(2p^2+p\right)^2\)
\(4p^4+4p^3+4p^2+4p+4< 4p^4+4p^3+9p^2+4p+4=\left(2p^2+p+2\right)^2\)
Suy ra \(\left(2p^2+p\right)^2< 4n^2< \left(2p^2+p+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(2n\right)^2=\left(2p^2+p+1\right)^2=4p^4+4p^3+5p^2+2p+1\)
\(\Rightarrow p^2-2p-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p-3\right)=0\)
\(\Rightarrow p=3\)thỏa mãn.
Vậy \(p=3\).
Ta dựa vào nhận xét sau đây: Nếu \(p\) là số nguyên tố và \(p=ab\) với a,b là các số nguyên dương thì a=1 hoặc b=1. Ta có
\(A=n^4+4\cdot2^{4k}=\left(n^2\right)^2+2\cdot n^2\cdot2^{2k+1}+\left(2^{2k+1}\right)^2-2^{2k+2}\cdot n^2\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}\right)^2-\left(2^{k+1}\cdot n\right)^2=\left(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}\cdot n\right)\left(n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\right).\)
Vì A là số nguyên tố và \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}\cdot n<\)\(n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}\cdot n\). Suy ra \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}\cdot n=1\). Suy ra \(\left(n-2^k\right)^2+2^{2k}=1\to n=2^k,2^{2k}=1\to k=0,n=1.\) Khi đó A=1+4=5 là số nguyên tố.
Akai Haruma giúp e với