HM
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
1
WR
24 tháng 6 2019
Áp dụng hđt: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)Ta có: \(x^3+y^3+3xyz=z^3\Leftrightarrow x^3+y^3+3xyz-z^3=0\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz\right)=0\)
Th1: \(x+y-z=0\Leftrightarrow x+y=z\Rightarrow z^3=\left(2x+2y\right)^2=4z^2\Leftrightarrow z=4\)(do z là số nguyen dương)
\(\Rightarrow x+y=4\)\(\Rightarrow\left(x,y\right)\in\left\{\left(1,3\right)\left(2,2\right)\left(3,1\right)\right\}\)
\(TH2:x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz=0\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(y+z\right)^2}{2}=0\)(loại vì x,y,z nguyên dương nên VT>0 )
Vậy...
VX
1
25 tháng 6 2018
x3+y3+z3 = 3xyz + 2017
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=2017\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]=2017\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]=4034\)
4034 có 4 ước nguyên dương là 1; 2; 2017; 4034. Mà x; y; z là ba số nguyên dương
\(\Rightarrow\)x +y+z \(\ge\)3 \(\Rightarrow\)x+y+z = 2017; 4034.
*Nếu x+y+z = 4034.
\(\Rightarrow\) (x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 = 1
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\\left|y-z\right|=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\\left|y-z\right|=1\end{matrix}\right.\) (loại)
*Nếu x+y+z = 2017
\(\Rightarrow\)(x-y)2 + (x-z)2 + (y-z)2 = 2
+ TH1:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\\left|y-z\right|=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\\left|y-z\right|=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) (loại)
+TH2:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|=1\\\left|x-z\right|=1\\y-z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x-z=-1\\y=z\end{matrix}\right.\)(không mất tính tổng quát)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2017\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2017-2y\\x=y-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2017-2y=y-1\)
\(\Leftrightarrow3y=2016\Leftrightarrow y=672\)
\(\Rightarrow x=673;z=672\)
Vậy có 1 bộ ba (x;y;z) nguyên dương cần tìm là (672;672;673) và các hoán vị của chúng.
LT
0
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 12 2017
Lời giải:
Áp dụng công thức hằng đẳng thức:
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\) ta có:
\(x^3+y^3+3xyz=z^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+(-z)^3-3xy(-z)=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y-z)(x^2+y^2+z^2-xy+xz+yz)=0\)
TH1: \(x+y-z=0\)
\(\Leftrightarrow z=x+y\)
Thay vào: \(z^3=2(2x+2y)^2=8(x+y)^2\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^3=8(x+y)^2\)
\(\Leftrightarrow (x+y)^2(x+y-8)=0\)
Do x,y nguyên dương nên \((x+y)^2\neq 0\Rightarrow x+y-8=0\Rightarrow x+y=8\Rightarrow z=8\)
\(x+y=8\Rightarrow (x,y)=(1,7); (2;6); (3;5); (4;4)\) và các hoán vị tương ứng
TH2: \(x^2+y^2+z^2-xy+yz+xz=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2}{2}=0\)
Vì \((x-y)^2; (y+z)^2; (z+x)^2\geq 0\Rightarrow (x-y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-y=0\\ y+z=0\\ z+x=0\end{matrix}\right.\) (vô lý do x,y,z nguyên dương)
Vậy \((x,y,z)=(1;7;8); (2;6;8); (3;5;8); (4;4;8); (5;3;8); (6;2;8); (7;1;8)\)
NP
0
26 tháng 6 2020
Đây mới lớp 8 thôi mà mày làm như này thì tao cx k dám đọc .-.
T
26 tháng 6 2020
$$P=\sum\limits_{cyc} \frac{yz}{x^3(z+2y)} =\sum\limits_{cyc} \,{\frac {3{y}^{2}{z}^{2}}{{x}^{2} \left( z+2\,y \right) \left( x+y+z
\right) }}$$
Cho $x=y=z$ thì thấy $\text{P}=1.$ Ta chứng minh 1 là giá trị nhỏ nhất của P tức là chứng minh $$\text{P}=\sum\limits_{cyc} \,{\frac {3{y}^{2}{z}^{2}}{{x}^{2} \left( z+2\,y \right) \left( x+y+z
\right) }} \geqq 1$$
Thật vậy sau khi quy đồng ta cần chứng minh$:$
$$\frac{1}{2} \sum\limits_{cyc} \,x{z}^{3} \left( 7\,{x}^{2}yz+12\,{x}^{2}{z}^{2}+23\,x{y}^{3}+7\,x
{y}^{2}z+30\,xy{z}^{2}+17\,{y}^{2}{z}^{2} \right) \left( x-y \right)
^{2} \geqq 0$$
Xong.