Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo đề, ta có hệ:
a*(-2)^2-2b*(-2)+3=0 và a-2b+3=0
=>4a+4b=-3 và a-2b=-3
=>a=-3/2; b=3/4
Từ pt ta có: \(-\left(1+x^4\right)=\text{ax}^3+bx^2+cx\)
Áp dụng BĐT B.C.S:
\(\left(1+x^4\right)^2=\left(\text{ax}^3+bx^2+cx\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^6+x^4+x^2\right)\)\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\ge\frac{4}{3}\left(2\right)\)
Thật vậy: \(\left(2\right)\Leftrightarrow3\left(1+2x^4+x^8\right)\ge4\left(x^6+x^4+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\left(3x^4+2x^2+3\right)\ge0\)(luôn đúng)
Từ 1 và 2 : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=c=\frac{2}{3}\left(x=1\right)\\a=b=c=\frac{-2}{3}\left(x=-1\right)\end{cases}}\)
\(ax^3-\left(a+2\right)x^2+3x-1=0\) (1)
\(ax^3-\left(a+2\right)x^2+3x-1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(ax^2-2x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x-1=0\\ax^2-2x+1=0\end{cases}\left(2\right);\left(3\right)\)
Nhận xét rằng phương trình \(x-1=0\) (2) luôn có nghiệm x = 1
Phương trình \(ax^2-2x+1=0\) (3) có nghiệm x=1 khi và chỉ khi a=1.
Khi đó x=1 là nghiệm kép của (3)
- Nếu a=0 thì (3) có nghiệm \(x=\frac{1}{2}\)
- Nếu \(a\ne0\) thì (3) là phương trình bậc hai có \(\Delta'=1-a\)
+ Nếu \(\Delta'<0\)
hay a>1 thì ( 3) vô nghiệm
+ Nếu a<1, \(a\ne0\) thì \(\Delta'>0\)
nên phương trình (3) có hai nghiệm \(x_{1;2}=\frac{1\pm\sqrt{1-a}}{a}\)
Theo nhận xét trên thì hai nghiệm này cùng khác 1. Ta có kết luận
- Nếu \(a\ge1\) thì (1) có một nghiệm x=1 ( khi a=1 thì x = 1 là nghiệm bội ba)
- Nếu a = 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt \(x=1;x=\frac{1}{2}\)
- Nếu a < 1, \(a\ne0\) thì (1) có ba nghiệm phân biệt
x = 1, \(x=\frac{1-\sqrt{1-a}}{a};x=\frac{1=\sqrt{1-a}}{a}\)
nhận thấy x=0 không là nghiệm,chia cả 2 vế của PT cho x2
\(PT\Leftrightarrow x^2+ax+b+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+b=0\)
đặt \(x+\dfrac{1}{x}=k\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=k^2-2\)
\(PT\Leftrightarrow k^2-2+ak+b=0\)(*)
\(\Leftrightarrow k^2-2=-\left(ak+b\right)\Leftrightarrow\left(k^2-2\right)^2=\left(ak+b\right)^2\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:
\(\left(k^2-2\right)^2=\left(ak+b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(k^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{\left(k^2-2\right)^2}{k^2+1}\)
Đến đây nếu use phương pháp miền giá trị thì sẽ ra \(a^2+b^2\ge0\).Tuy nhiên lại không tìm được x, có nghĩa là PT vô nghiệm, trái đề bài
để ý ràng \(k=x+\dfrac{1}{x}\ge2\)
\(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(k^2-2\right)^2}{k^2+1}=k^2+1+\dfrac{9}{k^2+1}-6\)( chọn điểm rơi k=2)
\(=\left(\dfrac{25}{k^2+1}+k^2+1\right)-\dfrac{16}{k^2+1}-6\)
Áp dụng BĐT AM-GM và \(k\ge2\) ta có:
\(a^2+b^2\ge2.5-\dfrac{16}{5}-6=\dfrac{4}{5}\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{k}=\dfrac{b}{1}\\k=2\\x=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=2b\)
Thế vào PT đầu tìm ra a,b với x=1
P/s: thực ra x phải là \(\pm1\) nhưng a>0 nên chỉ xét x>0
Lời giải:
Để PT đã cho nhận nghiệm $x=-2; x=1$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} a(-2)^2-2b(-2)+3=0\\ a.1^2-2b.1+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a+4b=-3\\ a-2b=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{-3}{2}\\ b=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\)