Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1,Q=\dfrac{a^4-2a^2+a^3-2a+a^2-2}{a^4-2a^2+2a^3-4a+a^2-2}\\ Q=\dfrac{\left(a^2-2\right)\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2-2\right)\left(a^2+2a+1\right)}=\dfrac{a^2+a+1}{a^2+2a+1}\)
\(Q=\dfrac{x^2+x+1}{\left(x+1\right)^2}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{x^2+x+1-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{4}}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}\\ Q=\dfrac{\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\\ Q_{min}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow x=1\)
\(2,\text{Từ GT }\Leftrightarrow\dfrac{ayz+bxz+czy}{xyz}=0\\ \Leftrightarrow ayz+bxz+czy=0\\ \text{Ta có }\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)^2=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\left(\dfrac{xy}{ab}+\dfrac{yz}{bc}+\dfrac{zx}{ca}\right)=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\cdot\dfrac{cxy+ayz+bzx}{abc}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}+2\cdot\dfrac{0}{abc}=1\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\)
đkxđ: \(abc\ne0\)
\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)
Kết hợp với \(a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) và đẳng thức \(\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\left(xy+yz+zx\right)\), dễ dàng suy ra \(ab+bc+ca=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\) \(\Leftrightarrow ab+bc+ca=\dfrac{a+b+c}{abc}\) \(\Leftrightarrow a+b+c=abc\left(ab+bc+ca\right)\) (1)
Mặt khác, \(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) \(\Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\) \(\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\left(a+b+c\right)\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(a+b+c=\left(abc\right)^2\left(a+b+c\right)\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\abc=\pm1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(a+b+c=0\), suy ra \(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=0\) hay \(ab+bc+ca=0\), từ đó suy ra \(a^2+b^2+c^2=0\) \(\Leftrightarrow a=b=c=0\), loại
TH2: \(abc=1\). Ta dễ dàng suy ra được \(a+b+c=ab+bc+ca\). Ta có \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\) \(=abc-\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)-1\) \(=0\) nên suy ra \(\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\). Giả sử \(a=1\). Khi đó ta có \(bc=1\)
Thay lại vào 2 pt đã cho, ta đều thấy thỏa mãn. Vậy ta tìm được 1 tập nghiệm của hệ là \(S_1=\left\{\left(a;b;c\right)|a=1;bc=1\right\}\) và các hoán vị của mỗi nghiệm thuộc tập S1.
TH3: \(abc=-1\). Ta kiểm chứng được \(a+b+c+ab+bc+ca=0\). Ta có \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=0\) nên \(\left[{}\begin{matrix}a=-1\\b=-1\\c=-1\end{matrix}\right.\). Nếu \(a=-1\) thì suy ra \(bc=1\). Thử lại vào cả 2 pt ta đều thấy thỏa mãn. Như vậy ta tìm được tập nghiệm nữa của hpt đã cho là \(S_2=\left\{\left(a;b;c\right)|a=-1;bc=1\right\}\) và các hoán vị của mỗi bộ nghiệm trong các nghiệm thuộc \(S_2\).
Vậy tập nghiệm của hpt đã cho là \(S=S_1\cup S_2=\left\{\left(a;b;c\right)|a=\pm1;bc=1\right\}\) và các hoán vị của mỗi phần tử thuộc S.
Bài 3:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)
Đặt \(\left(2\sqrt{a}-5;2\sqrt{b}-5;2\sqrt{c}-5\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y;z>0\\a=\left(\dfrac{x+5}{2}\right)^2\\b=\left(\dfrac{y+5}{2}\right)^2\\c=\left(\dfrac{z+5}{2}\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(Q=\dfrac{\left(x+5\right)^2}{4y}+\dfrac{\left(y+5\right)^2}{4z}+\dfrac{\left(z+5\right)^2}{4x}\ge\dfrac{\left(x+y+z+15\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(Q\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+30\left(x+y+z\right)+225}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(Q\ge\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{225}{4\left(x+y+z\right)}+\dfrac{15}{2}\ge2\sqrt{\dfrac{225\left(x+y+z\right)}{16\left(x+y+z\right)}}+\dfrac{15}{2}=15\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=25\)
Áp dụng bđt hoán vị cho hai bộ số đơn điệu ngược chiều \(\left(a,b,c\right);\left(2\sqrt{a}-5,2\sqrt{b}-5,2\sqrt{c}-5\right)\): \(Q\ge\dfrac{a}{2\sqrt{a}-5}+\dfrac{b}{2\sqrt{b}-5}+\dfrac{c}{2\sqrt{c}-5}\).
Mặt khác ta có \(\dfrac{a}{2\sqrt{a}-5}-5=\dfrac{\left(\sqrt{a}-5\right)^2}{2\sqrt{a}-5}\ge0\).
Do đó \(Q\ge5+5+5=15\).
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 25.
Bài 1:
Từ \(a+b+c=0\) ta có:
\(B=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-b^2-a^2}\)
\(=\frac{a^2}{(-b-c)^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{(-c-a)^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{(-b-a)^2-b^2-a^2}\)
\(=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Lại có:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3\)
\(=-c^3+3abc+c^3=3abc\)
Do đó \(B=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}\)
Bài 2:
Lấy P-Q ta có:
\(P-Q=\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)
\(P-Q=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(P-Q=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}+\frac{(b-c)(b^2+bc+c^2)}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c-a)(c^2+ac+a^2)}{c^2+ac+a^2}\)
\(P-Q=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0\Rightarrow P=Q\)
Ta có đpcm.
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{2011}\)
Đồng thời: \(\left\{{}\begin{matrix}y^2+z^2-x^2=2a^2\\z^2+x^2-y^2=2b^2\\x^2+y^2-z^2=2c^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{y^2+z^2-x^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{z}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{y^2+z^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2}{z}-\left(x+y+z\right)\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{2y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{\left(y+z+z+x+x+y\right)^2}{2x+2y+2z}-\left(x+y+z\right)\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)