Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bđt \(\Leftrightarrow\)\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge3a^3b+3b^3c+3c^3a\)
Có: \(a^4+a^2b^2\ge2a^3b\) tương tự với b, c, do đó cần cm: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^3b+b^3c+c^3a\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2b\left(b-a\right)+b^2c\left(c-b\right)+c^2a\left(a-c\right)\ge0\) (1)
Do a,b,c vai trò như nhau nên giả sử \(0\le a\le b\le c\) ta có:
\(c^2a\left(a-c\right)=c.c.a\left(a-c\right)\ge b.a.a\left(a-c\right)=a^2b\left(a-c\right)\)
\(\Rightarrow\)\(VT_{\left(1\right)}\ge a^2b\left(b-a\right)+b^2c\left(c-b\right)+a^2b\left(a-c\right)=a^2b\left(b-a+a-c\right)+b^2c\left(c-b\right)\)
\(=a^2b\left(b-c\right)-b^2c\left(b-c\right)=b\left(b-c\right)\left(a^2-bc\right)\)
Mà \(0\le a\le b\le c\) nên \(\hept{\begin{cases}b-c\le0\\a^2-bc\le0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(VT_{\left(1\right)}\ge b\left(b-c\right)\left(a^2-bc\right)\ge0\)
\(VP=\frac{6}{\sqrt{\left(3a+bc\right)\left(3b+ca\right)\left(3c+ab\right)}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)a+bc\right]\left[\left(a+b+c\right)b+ca\right]\left[\left(a+b+c\right)c+ab\right]}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+1\right)^2}}=\frac{6}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)
\(VT=\frac{1}{3a+bc}+\frac{1}{3b+ca}+\frac{1}{3c+ab}\)
\(=\frac{1}{\left(a+b+c\right)a+bc}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)b+ac}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)c+ab}\)
\(=\frac{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=\frac{6}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)
Vậy VT = VP, đẳng thức được chứng minh
xét hiệu\(\left(5a-3b+8c\right)\left(5a-3b-8c\right)-\left(3a-5b\right)^2=0\)
\(\left(5a-3b\right)^2-64c^2-\left(3a-5b\right)^2=0\)
\(\left(5a-3b\right)^2-\left(3a-5b\right)^2-64c^2=0\)
\(\left(5a-3b-3a+5b\right)\left(5a-3b+3a-5b\right)-64c^2=0\)
\(\left(2a+2b\right)\left(8a-8b\right)-64c^2=0\)
\(16a^2-16ab+16ab-16b^2-64c^2=0\)
\(16a^2-16b^2-64c^2=0\)
\(16\left(a^2-b^2\right)-64c^2=0\)
\(16\times4c^2-64c^2=0\)
\(64c^2-64c^2=0\left(dpcm\right)\)
\(\left(5a-3b+8c\right)\left(5a-3b-8c\right)\)
\(=\left(5a-3b\right)^2-\left(8c\right)^2\)
\(=25a^2-30ab+9b^2-16\left(a^2-b^2\right)\)
\(=9a^2-30ab+25b^2\)
\(=\left(3a-5b\right)^2\)
ab + ac +b2 +bc= (a+b).(a+c)
ta có:
VP = (a+b).(b+c)= (a+b). b + (a+b).c = ab + b2+ ac + bc = VT
Vậy ab + ac + b2 + bc = (a+b).(b+c)
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)
b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)
a) a > b
⇒ 2a > 2b (nhân hai vế với 2 > 0)
⇒ 2a - 3 > 2b - 3 (cộng hai vế với -3)
b) a < b
⇒ -3a > -3b (nhân hai vế với -3 < 0)
⇒ -3a + 2 > -3b + 2 (1) (cộng hai vế với 2)
5 > 2
⇒ -3a + 5 > -3a + 2 (2) (cộng hai vế với -3a)
Từ (1) và (2) ⇒ -3a + 5 > -3b + 2
2 dòng thì chịu :V
Ta co:\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta bien doi tuong duong BDT:
\(a^4+b^4+a^2+b^2+c^2+3a^2b^2-2a^3b-2ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2+a^2+b^2+c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-ab\right)^2+a^2+b^2+c^2\ge0\left(True\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=0\)
\(VT\ge\left(a^4+a^2b^2\right)+\left(b^4+a^2b^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\)\(+a^2b^2\ge2ab^3+2a^3b+2\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu ''='' xảy ra tại a=b=c=0
Ở bài này dùng \(x^2+y^2\ge2\left|xy\right|\ge2xy\)không chắc lắm