K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

3 tháng 9 2020

Ta có : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2.\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3.\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=2\)

Hay : \(B\le3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Vậy \(GTLN\) của \(B=3\) khi \(x=y=z=1\)

3 tháng 9 2020

Ta có bất đẳng thức sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

\(< =>2\left(xy+yz+zx\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(< =>2xy+2yz+2zx\le2x^2+2y^2+2z^2\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Khi đó ta được bất đăng thức \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

\(< =>3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)

\(< =>xy+yz+zx\le\frac{9}{3}=3\) Tương đương \(B\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

Vậy GTLN của B = 3 đạt được khi x = y = z = 1

11 tháng 10 2020

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{yz}}+2}+\frac{1}{\frac{y}{\sqrt{zx}}+2}+\frac{1}{\frac{z}{\sqrt{xy}}+2}\)

Đặt \(\frac{x}{\sqrt{yz}}=c,\frac{y}{\sqrt{zx}}=t;\frac{z}{\sqrt{xy}}=k\left(c,t,k>0\right)\)thì ctk = 1

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{1}{c+2}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{k+2}\)với ctk = 1

Dự đoán MaxP = 1 khi c = t = k = 1

Thật vậy: \(P=\frac{kt+2k+2t+4+ct+2c+2t+4+ck+2c+2k+4}{\left(c+2\right)\left(t+2\right)\left(k+2\right)}=\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{ctk+2\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+8}\le\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{1+\left(kt+tc+ck\right)+3\sqrt[3]{\left(ctk\right)^2}+4\left(c+t+k\right)+8}=1\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

11 tháng 10 2020

Ta có: \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)\)(bđt cosi) (1)

CMTT: \(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)\)(2)

\(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)(3)

Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta có:

\(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)

=> P \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z+x+z+x+y}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z

3 tháng 11 2016

 1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz 

Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy 
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y 
tương tự: 
+) 2yz ≤ y² + z² 
+) 2xz ≤ x² + z² 

cộng 3 vế của 3 bđt trên 
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) 
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² 
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² 
--> xy + yz + xz ≤ 3 

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2/ x² + ax + bc = 0 (1) 
x² + bx + ac =0 (2) 

Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) 
x1 là nghiệm chung của 2 pt 

x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 

trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 
<=> (x1).(a - b) = c(a - b) 
<=> x1 = c 
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) 
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c 

thay a = - b - c vào (1): 
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') 
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b 

tương tự, thay b = - a - c vào (2): 
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') 
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a 

Vậy 
{ x2 + x3 = a + b 
{ x2.x3 = ab 
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: 
x² - (a + b)x + ab =0 
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 

Đặt Q(x) = P(x) - 5x 
Ta có: 
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) 
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) 

Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 

Q(x) được biểu diễn dưới dạng: 
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) 
mà Q(x) = P(x) - 5x 
--> P(x) = Q(x) + 5x 
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x 

P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 

--> [ P(12) - P(-9) ] / 105 
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 
= (10.11.21 + 105) / 105 
= (2.5.11.21 + 105) / 105 
= (2.11.105 + 105) / 105 
= 22 + 1 = 23 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

31 tháng 10 2016

a) 

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: 
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1) 
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)² 
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9 
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9 
<--> x² + y² + z² ≥ 3 
--> M ≥ 3 
--> min M = 3 khi x = y = z = 1

b) 
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy 
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y 
tương tự: 
+) 2yz ≤ y² + z² 
+) 2xz ≤ x² + z² 

cộng 3 vế của 3 bđt trên 
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) 
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² 
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² 
--> xy + yz + xz ≤ 3 

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2/ x² + ax + bc = 0 (1) 
x² + bx + ac =0 (2) 

Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) 
x1 là nghiệm chung của 2 pt 

x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 

trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 
<=> (x1).(a - b) = c(a - b) 
<=> x1 = c 
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) 
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c 

thay a = - b - c vào (1): 
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') 
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b 

tương tự, thay b = - a - c vào (2): 
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') 
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a 

Vậy 
{ x2 + x3 = a + b 
{ x2.x3 = ab 
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: 
x² - (a + b)x + ab =0 
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 

Đặt Q(x) = P(x) - 5x 
Ta có: 
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) 
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) 

Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 

Q(x) được biểu diễn dưới dạng: 
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) 
mà Q(x) = P(x) - 5x 
--> P(x) = Q(x) + 5x 
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x 

P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 

--> [ P(12) - P(-9) ] / 105 
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 
= (10.11.21 + 105) / 105 
= (2.5.11.21 + 105) / 105 
= (2.11.105 + 105) / 105 
= 22 + 1 = 23 

31 tháng 10 2016

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1

31 tháng 10 2016

x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz

Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²

cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1

27 tháng 5 2018

c)

P=A+B=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx

2P=(x+y+z)^2 +x^2 y^2+z^2=9+A

kq(a)

A≥3

2P≥12

P≥6

28 tháng 5 2018

Ta có : x + y + z = 3

⇔ ( x + y + z)2 = 9

⇔ x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx ) = 9

⇔ A + 2B = 9

Áp dụng BĐT : ( a - b)2 ≥ 0 ∀ab

⇔ a2 + b2 ≥ 2ab

Từ đó , ta có : x2 + y2 ≥ 2xy ( 1)

y2 + z2 ≥ 2zy ( 2)

z2 + z2 ≥ 2zx ( 3)

Cộng từng vế của ( 1;2;3) ⇒ 2( x2 + y2 + z2) ≥ 2( xy +yz + xz) (*)

a) ( *) ⇔ 3A ≥ A + 2B = 9

⇔ A ≥ 3

⇒ AMIN = 3 ⇔ x = y = z = 1

b) ( *) ⇔ x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + xz) ≥ 3( xy + yz + xz)

⇔ A + 2B ≥ 3B

⇔ 3B ≤ 9

⇔ B ≤ 3

⇒ BMAX = 3 ⇔ X = Y = Z = 1

c) Đặt : C = A + B

Ta có : A + 2B ≥ 9 mà : B ≤ 3

⇒ A + B ≥ 6

⇒ CMIN = 6 ⇔ x = y = z = 1

20 tháng 2 2018

Theo bđt Bunhiacopxki ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2+y^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+xz\right|\ge xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{3^2}{3}=3\) có GTLN là 3

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{6x+y+z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{64}(\frac{6}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Tương tự:

$\frac{1}{x+6y+z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{6}{y}+\frac{1}{z})$
$\frac{1}{x+y+6z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{6}{z})$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:

$A\leq \frac{1}{64}(\frac{8}{x}+\frac{8}{y}+\frac{8}{z})=\frac{1}{8}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{xy+yz+xz}{8xyz}=\frac{4xyz}{8xyz}=\frac{1}{2}$

Vậy $A_{\max}=\frac{1}{2}$

Giá trị này đạt tại $x=y=z=\frac{3}{4}$

29 tháng 8 2016

với mọi x, y, z ta có: 
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0 
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0 
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0 
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z) 
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx 
=>xy +yz + zx <=3 
dấu = xảy ra khi x=y=z =1

9 tháng 7 2017

ai tích mình tích lại nhưng phải lên điểm mình tích gấp đôi