Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét
\(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2=m-1\end{cases}}\)
TH1:
\(m-1\le0\) thì hàm số đồng biến trên R
TH2: \(m-1>0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{m-1}\\x=-\sqrt{m-1}\end{cases}}\)
Khi đó khoảng đồng biến của hàm số là \(\left(-\infty,-\sqrt{m-1}\right)\text{ và }\left(0,\sqrt{m-1}\right)\)
Muốn hàm số đồng biến trên (1,3) thì \(\left(1,3\right)\subset\left(0,\sqrt{m-1}\right)\Leftrightarrow3\le\sqrt{m-1}\Leftrightarrow m\ge10\)
Vậy \(\orbr{\begin{cases}m\le1\\m\ge10\end{cases}}\)
\(f'\left(x\right)=m^2x^4-mx^2+20x-\left(m^2-m-20\right)\)
Để hàm số đồng biến trên \(ℝ\)thì \(f'\left(x\right)\ge0,\)với mọi \(x\inℝ\).
Mà ta thấy \(f'\left(-1\right)=m^2-m-20-\left(m^2-m-20\right)=0\)
do đó \(x=-1\)là một điểm cực trị của hàm số \(f'\left(x\right)\).
Ta có: \(f''\left(x\right)=4m^2x^3-2mx+20\)
\(f''\left(-1\right)=0\Leftrightarrow-4m^2+2m+20=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{5}{2}\\m=-2\end{cases}}\).
Thử lại.
Với \(m=\frac{5}{2}\): \(f''\left(x\right)=25x^3-5x+20\)
\(f''\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-1\)
\(f'\left(-1\right)=0\)
do đó \(f'\left(x\right)\ge0\)thỏa mãn.
Với \(m=-2\): \(f''\left(x\right)=16x^3+4x+20\)
\(f''\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-1\).
\(f'\left(-1\right)=0\)
do đó \(f'\left(x\right)\ge0\)thỏa mãn.
Vậy tổng các giá trị của \(m\)là: \(\frac{5}{2}+\left(-2\right)=\frac{1}{2}\).
Chọn D.
đáp án:
Hàm số đã cho xác định trên D = R.
Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m ≠ -1. Ta có f'(x)= 3(m+1)x2 - 6(m + 1)x + 2m
+ Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1
+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2]
Theo Viét ta có 
+ Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ (x1 + x2 )2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0
Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.
Ta có \(y'=-3x^2+6x+3m\) \(\Rightarrow\) hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)\(\Leftrightarrow y'\le0\)
với mọi \(x\in\left(0;+\infty\right)\) (*)
Vì \(y'\left(x\right)\) liên tục tại x=0 nên (*)
\(\Leftrightarrow y'\le0\)với mọi \(x\in\)[0;\(+\infty\))
\(\Leftrightarrow-3x^2+6x+3m\le0\) với mọi \(x\in\)[0;\(+\infty\))
\(\Leftrightarrow m\le x^2-2x\), với mọi \(x\in\)[0;\(+\infty\))\(\Leftrightarrow m\le g\left(x\right);\)với mọi \(x\in\)[0;\(+\infty\)) (Trong đó \(g\left(x\right)=x^2-2x\)
\(\Leftrightarrow m\le Min_{\left(0;+\infty\right)}g\left(x\right)\)
Xét hàm số \(g\left(x\right)=x^2-2x\) trên với mọi \(x\in\)[0;\(+\infty\))\(\Rightarrow g'\left(x\right)=2x-2\Rightarrow g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}g\left(x\right)=+\infty;g\left(0\right)=0;g\left(1\right)=-1\)\(\Rightarrow Min_{\left(0;+\infty\right)}g\left(x\right)=-1\) tại x=1
Vậy \(m\le-1\) thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)\(\Rightarrow y'\le0,x\in\left(1;+\infty\right)\) (*)
Trường hợp 1 : Nếu \(\Delta'\le0\Leftrightarrow4m^2-7m+1\le0\Leftrightarrow\frac{7-\sqrt{33}}{8}\le m\le\frac{7+\sqrt{33}}{8}\) thì theo định lí về dấu tam thức bậc 2 ta có \(y'\le0,x\in R\Rightarrow\) (*) luôn đúng.
Trường hợp 2 : Nếu \(\Delta'>0\Leftrightarrow4m^2-7m+1>0\Leftrightarrow m\le\frac{7-\sqrt{33}}{8}\) hoặc \(m\ge\frac{7+\sqrt{33}}{8}\)thì (*) đúng
\(\Leftrightarrow\) phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) mà \(x_1<\)\(x_2\) và thỏa mãn x1 < x2 <= 1
\(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{5}}{2}\le m\le\frac{7-\sqrt{33}}{8}\) hoặc \(\frac{7-\sqrt{33}}{8}\le m\le\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Kết hợp trường hợp 1 và trường hợp 2 ta có
\(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{5}}{2}\le m\le\frac{7-\sqrt{33}}{8}\) hoặc \(\frac{7-\sqrt{33}}{8}\le m\le\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)
Câu 1:
\(y'=\frac{\left(4x+1-m\right)\left(x-m\right)-\left(2x^2+\left(1-m\right)x+m+1\right)}{\left(x-m\right)^2}=\frac{2x^2-4mx+m^2-2m-1}{\left(x-m\right)^2}\)
Xét pt: \(f\left(x\right)=2x^2-4mx+m^2-2m-1=0\)
\(\Delta'=4m^2-2\left(m^2-2m-1\right)=2\left(m+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{2m-\sqrt{2}\left(m+1\right)}{2}=\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)m-\frac{\sqrt{2}}{2}\\x_2=\frac{2m+\sqrt{2}\left(m+1\right)}{2}=\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)m+\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
ĐK1: để hàm số liên tục trên \(\left(1;+\infty\right)\) \(\Rightarrow m\le1\) (1)
ĐK2: \(x_2\le1\Rightarrow\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)m+\frac{\sqrt{2}}{2}\le1\)
\(\Rightarrow\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)m\le1-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow m\le3-2\sqrt{2}\) (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được \(m\le3-2\sqrt{2}\)
Câu 2:
\(y'=m-3+\left(2m+1\right)sinx\)
Để hàm số nghịch biến trên R \(\Leftrightarrow y'\le0\) \(\forall x\in R\)
\(\Rightarrow m-3+\left(2m+1\right)sinx\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)sinx\le3-m\)
TH1: \(2m+1=0\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\Rightarrow0\le3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\) (đúng)
TH2: \(2m+1< 0\Rightarrow m< -\frac{1}{2}\)
\(\left(2m+1\right)sinx\le3-m\Leftrightarrow sinx\ge\frac{3-m}{2m+1}\)
\(\Rightarrow\min\limits_{x\in R}sinx\ge\frac{3-m}{2m+1}\Rightarrow\frac{3-m}{2m+1}\le-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-m}{2m+1}+1\le0\Leftrightarrow\frac{m+4}{2m+1}\le0\Rightarrow-4\le m< -\frac{1}{2}\)
TH3: \(2m+1>0\Rightarrow m>-\frac{1}{2}\)
\(\left(2m+1\right)sinx\le3-m\Rightarrow sinx\le\frac{3-m}{2m+1}\)
\(\Leftrightarrow\max\limits_{x\in R}\left(sinx\right)\le\frac{3-m}{2m+1}\Rightarrow\frac{3-m}{2m+1}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2-3m}{2m+1}\ge0\Leftrightarrow-\frac{1}{2}< m\le\frac{2}{3}\)
Kết hợp lại ta được: \(-4\le m\le\frac{2}{3}\)
Câu 1:
\(y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-m\ge0\) \(\forall x\) \(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\ge m\) \(\forall x\)
Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\Rightarrow m\le\min\limits_{x\in R}f\left(x\right)\)
\(f'\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}>0\) \(\forall x\in R\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R
Xét \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)>-1\) \(\forall x\Rightarrow\) để hàm số đã cho đồng biến trên R thì \(m\le-1\)
Câu 2:
\(y'=m+\left(m+1\right)sinx\ge0\) \(\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow m\left(1+sinx\right)\ge-sinx\) \(\Leftrightarrow m\ge\frac{-sinx}{1+sinx}\) \(\forall x\in R\)
Đặt \(f\left(t\right)=\frac{-t}{1+t}\Rightarrow m\ge\max\limits_{t\in\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\)
\(f'\left(t\right)=\frac{-1}{\left(t+1\right)^2}< 0\Rightarrow f\left(t\right)\) nghịch biến trên \(\left[-1;1\right]\)
\(\lim\limits_{t\rightarrow-1}\frac{-t}{1+t}=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại \(\max\limits_{t\in\left[-1;1\right]}f\left(t\right)\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn
Chọn D.
Do đó ta có bảng biến thiên sau:
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) thì
Đáp án C
Phương pháp:
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên D khi và chỉ khi 
và bằng 0 tại hữu hạn điểm
Cách giải:
Ta có: 
Hàm số đã cho nghịch biến trên 
Xét hàm số: 
ta có: 
Chọn: D
Ta có: y ' = m 2 - m - 2 x + m 2
Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ; + ∞ thì
Vậy m ∈ [ 1 ; 2 )