Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo:
Ta có: \(R=\dfrac{abc}{4S};r=\dfrac{S}{p}\)
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(b=c\) và \(a=\sqrt{b^2+c^2}=b\sqrt{2}\)
Xét tỉ số:
\(\dfrac{R}{r}=\dfrac{abc.p}{4S^2}=\dfrac{abc.\dfrac{a+b+c}{2}}{4.\dfrac{1}{4}.\left(b.c\right)^2}=\dfrac{a\left(a+2b\right)}{2b^2}=\dfrac{2b^2\left(1+\sqrt{2}\right)}{2b^2}=1+\sqrt{2}\)
Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(4;-3\right)\)
Gọi H(x;y) là trực tâm của tam giác ABC thế thì \(\overrightarrow{CH}=\left(x-2;y\right),\overrightarrow{AH}=\left(x;y-1\right)\)
Ta có H là trực tâm của tam giac ABC khi và chỉ khi
\(\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}4x-3\left(y-1\right)=0\\-2\left(x-2\right)+2y=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-9\\y=-11\end{cases}\)
Vậy trực tâm của tam giác ABC là H(-9;-11)
Để tìm tọa độ của tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có thể sử dụng công thức khoảng cách IA=IB=IC hoặc sử dụng đẳng thức Vecto \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IH}\)
Hoặc cũng có thể làm như sau :
Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Khi đó M(-1;2) và \(N\left(0;\frac{3}{2}\right)\)
Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó :
\(\begin{cases}\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=0\\\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{BC}=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(-1-x\right)+2\left(2-y\right)=0\\4\left(-x\right)-3\left(\frac{3}{2}-y\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{9}{2}\\y=\frac{15}{2}\end{cases}\)
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là \(I\left(\frac{9}{2};\frac{15}{2}\right)\)
Gọi tia AI cắt cạnh BC tại M. Đặt \(S_{AMB}=S_C;S_{BMC}=S_A;S_{CMA}=S_B\)
\(\overrightarrow{IA}=-\frac{IA}{IM}.\overrightarrow{IM}=-\frac{IA}{IM}\left(\frac{BM}{a}.\overrightarrow{IC}+\frac{CM}{a}.\overrightarrow{IB}\right)\)
\(=-\frac{S_B+S_C}{S_A}\left(\frac{S_C}{S_B+S_C}.\overrightarrow{IC}+\frac{S_B}{S_B+S_C}.\overrightarrow{IB}\right)\)
\(=-\left(\frac{S_C}{S_A}.\overrightarrow{IC}+\frac{S_B}{S_A}.\overrightarrow{IB}\right)=-\left(\frac{c}{a}.\overrightarrow{IC}+\frac{b}{a}.\overrightarrow{IB}\right)\)
\(\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}=-\left(b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}\right)\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)(đpcm).
\(\left(x,y\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}IA=IB\\IA=IC\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(x-2\right)^2+y^2\\\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-4y=-1\\4x+2y=-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{11}{14}\\y=-\dfrac{13}{14}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(I\left(-\dfrac{11}{14};-\dfrac{13}{14}\right)\)
Lời giải:
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix}
\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=x_G\\
\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=y_G\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_C=3x_G-x_A-x_B\\
y_C=3y_G-y_A-y_B\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_C=3.2-(-2)-0=8\\ y_C=3.3-0-4=5\end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ điểm $C$ là $(8,5)$